首先我们回顾一下一些初等函数的保形变换：
（1）幂函数 \(w=z^n\) 将 \(z\) 平面锲形区域 \(0<\theta<\theta_0\) 变成 \(w\) 平面锲形区域 \(0<\theta< n\theta_0\)；
（2）指数函数 \(w=e^z\) 将带形区域 \(-\pi<y_1<y_2<\pi\) 变成锲形区域 \(y_1<\theta<y_2\)；
（3）三角函数将半无穷带 \(-\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}, y>0\) 变面上半平面；
（4）反演变换 \(w=\frac{1}{z}\) 将圆的内部变成圆的外部。
我们利用这些初等函数的变换，以及分式线性变换，来求一些保形变换。
例1，求一个保形变换，将上半单位圆变成上半平面。
解：我们用分解变换的方式来求保形变换。
首先，将上半圆变成第一象限的变换为 \[w=i\frac{1-z}{1+z}=h(z)\]
这个变换的证明类似于证明它是将单位圆变成上半平面的变换。
其次，将第一象限变成上半平面的变换为 \(w=z^2=g(z)\)；
再次，将上半平面变成单位圆的变换为 \(w=\frac{i-z}{i+z}=f(z)\)。
综合起来，将上半单位圆变成单位圆的变换为
\[f(g(h(z)))=\fra{i-\left(i\frac{1-z}{1+z}\right)^2}{i+\left(i\frac{1-z}{1+z}\right)^2}=-i\frac{z^2+2iz+1}{z^2-2iz+1}\]
例2，求一个保形变换，把带形 \(0<\text{Im} z<\pi\) 变换成单位圆 \(|w|<1\)。
解：首先 \(w=f(z)=e^z\) 将带形区域 \(0<\text{Im} z<\pi\) 变成上半平面；
其次，\(w=g(z)=\frac{i-z}{i+z}\) 将上半平面变成单位圆。
综合起来，\[L(z)=\frac{i-e^z}{i+e^z}\] 将带形区域 \(0<\text{Im} z<\pi\) 变成单位圆。