复变函数的图形只能通过两个平面来表示，因为函数的定义域与值域都是复平面，不可能用三维图形来表示，那么这两张图之间就可以看成是一种映射。
解析函数的一个重要的性质是它们的保形性。顾名思义，保形就是保持形状不变。解析函数确定的映射保持角度不变，且方向不变。一个三角形，只要它足够小，那么它在解析映射之下的像与它本身之间几乎就是相似的（略去高阶无穷小后就是相似的。）
1，保形映射：如果一个映射（1）保角（夹角不变）；（2）伸缩率不变，就称这们的映射为保形映射。
2，定理（解析函数的保域性，开映射原理）：设 \(w=f(z)\) 在区域 \(D\) 上解析且恒不等于常数，则 \(D\) 的像 \(G=f(D)\) 也是一个区域。
证明：我们需要证明\(G\) 是连通的开集，所以这个证明分成两步：
（1） 我们证明 \(G\) 是连通的。设 \(w_0,w_1\) 是 \(G\) 中任意两点， \(f(z_0)=w_0, f(z_1)=w_1,z_0,z_1\in D\).
设 \(\gamma(t)\) 是连接 \(z_0,z_1\) 的位于 \(D\) 中的曲线，\(\gamma(0)=z_0, \gamma(1)=z_1\)，则 \(f(\gamma(t))\) 是位于 \(G\) 中且 \(f(\gamma(0))=f(z_0)=w_0, f(\gamma(1))=f(z_1)=w_1\)，所以 \(f(\gamma(t))\) 是 \(G\) 中连接 \(w_0\) 和 \(w_1\) 的曲线，所以 \(G\) 是连通的。
（2）我们证明 \(G\) 是开集。我们只需要证明 \(G\) 中任意一点，其附近的点也属于 \(G\)。
设 \(w_0\in G\) 是 \(G\) 中任意一点，\(f(z_0)=w_0\)，只需要证明当 \(w_1\) 充分接近 \(w_0\) 时，\(f(z)=w\) 在 \(D\) 内有解。 因为
\[f(z)-w=f(z)-w_0+w_0-w_1\]
我们知道 \(f(z_0)=w_0\)，也就是说 \(f(z)-w_0\) 有 \(N_{\delta}(z_0)\) 内有解，这个 \(N_{\delta}(z_0)\) 就是以 \(z_0\) 为心，\(\delta\) 为半径的圆，称为 \(z_0\) 的\(delta\) 邻域。
由零点的孤立性，当 \(z\ne z_0\) 时，\(|f(z)-w_0|>\rho>0\)，所以在 \(|w-w_0|<\rho \) 内， \(|f(z)-w_0|>|w-w_0|\)。
由儒歇定理，\(f(z)-w_0\) 与 \(f(z)-w_0+w_0-w\) 的零点数相同，所以
\[f(z)-w=f(z)-w_0+w_0-w\]
与 \(f(z)-w_0\) 有相同的零点数，也就是说 \(f(z)=w\) 在 \(D\) 内有解。所以 \(|w-w_0|<\rho\) 的点都属于 \(G\)。所以 \(G\) 是开集。
综上所述，\(G\) 是连通的开集，所以 \(G\) 是一个区域。