我们来看一种比较简单的保形映射：
1，分式线性函数。分式线性函数也称为分式线性变换，或者 Moibus 变换。它的一般形式为
\[w=\frac{az+b}{cz+d},\qquad ad-bc\ne 0\]
若 \(ad-bc=0\)，则分式线性函数为常数。因为
\begin{align*}w&=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{az}{cz+d}+\frac{b}{cz+d}\\ &=\frac{1}{c}\cdot\frac{a(cz+d)}{cd+d}-\frac{1}{c}\cdot\frac{ad}{cz+d}+\frac{b}{cz+d}\\ &=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)}=\frac{a}{c}\end{align*}
分式线性函数比较重要，是因为（1）它是单位圆上的全纯自同构群；（2）它是平面上的全纯自同构群；（3）它是扩充复平面上的亚纯自同构群。
这里，直线看成是半径为无穷大的圆。
2，分式线性变换的逆变换（分式线性函数的反函数）：\(\displaystyle z=\frac{-dw+b}{cw+a}\)
3，在扩充复平面上，分式线性函数将
（1）点 \(z=-\frac{d}{c} \) 变成 \(w=\infty\);
（2）\(c=0\) 时，\(z=\infty\) 变成 \(w=\infty\)；
（3）\(c\ne 0\) 时，\(z=\infty\) 变成 \(w=\frac{a}{c}\)。
4，分式线性变换的分解：分式线性变换可以分解成更简单的一些保形变换的复合。
\[w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{c}-\frac{ad-bc}{c(cz+d)},\qquad c\ne 0\]
\[w=\frac{az+b}{cz+d}=\frac{a}{d}z-\frac{b}{d)}=re^{i\theta}z+\frac{b}{d},\qquad c=0\]
从这里可以看出，分式线性变换可以是下列几种变换的复合：
（1）\(w=z+a\)，平移变换；
（2）\(w=e^{i\theta}z\)，这是旋转变换，其中 \(\theta\) 是实数；
（3）\(w=rz\)，这是相似变换（拉伸），这里 \(r\) 是正实数；
（4）\(w=\frac{1}{z}\)，这称为反演变换。
关于分式线性变换，我们首先有如下的保圆性：
5，定理（分式线性变换的保圆性）：在扩充复平面上，分式线性函数将圆变成圆。
证明：（1）\(w=z+a\)，平移变换，将圆变成圆；
（2）\(w=e^{i\theta}z\)，旋转变换，将圆变成圆；
（3）\(w=rz\)，这是相似变换（拉伸）。只改变圆的大小，不改变形状，还是将圆变成圆；
（4）\(w=\frac{1}{z}\)，反演变换，也将圆变成圆，我们证明如下：
我们知道圆的一般方程为 \(a(x^2+y^2)+bx+cy+d=0\)。若 \(a=0\)，则圆的方程变成直线，而直线是半径为无穷大的圆。
若 \(a\ne 0\)，那么 \[x^2+y^2=z\cdot \bar{z},\quad x=\frac{z+\bar{z}}{2},\quad y=\frac{z-\bar{z}}{2i}\]
所以圆的方程变为 \begin{align*}& az\bar{z}+\frac{b}{2}(z+\bar{z})+\frac{c}{2i}(a-\bar{z})+d=0\\ &az\bar{z}+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2i}\right)z(z+\bar{z})+\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2i}\right)\bar{z}+d=0\\ &az\bar{z}+\left(\frac{b}{2}-\frac{c}{2}i\right)z+\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}i\right)\bar{z}+d=0\\ &az\bar{z}+\bar{\beta}z+\beta\bar{z}+d=0\end{align*}
这就是圆的一般方程的复数表示。这里 \(\beta=\left(\frac{b}{2}+\frac{c}{2}i\right)\)。
我们将反演变换 \(w=\frac{1}{z}\) 代入上式，得到
\begin{align*}&a\frac{1}{w}\cdot\frac{1}{\bar{w}}+\bar{\beta}\frac{1}{w}+\beta\frac{1}{\bar{z}}+d=0\\ (\text{同乘以} w\bar{w})\quad& a+\bar{\beta}\cdot \bar{w}+\beta w+dw\bar{w}=0\\ &dw\bar{w}+\beta w+\bar{\beta}\cdot \bar{w}+a=0\end{align*}
这仍然是一个圆的方程。所以反演变换将圆变成圆。
综合以上四种情形，我们知道，分式线性变换将圆变成圆。因为分式线性变换是由上面四种变换复合而成的。这就证明了分式线性变换的保圆性。