分式线性函数的保对称点性

1,对称点:我们称 \(z_1,z_2\) 关于圆 \(|z-a|=R\) 对称,是指它们满足下列两个条件:

(1)\(z_1,z_2\) 在从 \(a\) 出发的同一条射线上;

(2)\(|z_1-a|\cdot|z_2-a|=R^2\)。

\(a\) 的对称点定义为 \(\infty\)。需要注意的是,圆周的点的对称点是它自身。

关于对称点,我们首先有如下的定理。

2,定理:扩充复平面上两点 \(z_1,z_2\) 关于圆周 \(C: |z-a|=R\) 对称的充分必要条件是,所有过 \(z_1,z_2\) 的圆与 \(C\) 正交。

证明:首先,设 \(z_1,z_2\) 关于 \(C\) 对称。

第一种情况,过 \(z_1,z_2\) 的直线(是半径为无穷大的圆)\(\Gamma\) 与 \(C\) 正交(因为半径与圆正交)。

第二种情况,过 \(z_1,z_2\) 的圆 \(\Gamma\),半径为有限。从 \(a\) 作 \(\Gamma\) 的切线,与 \(\Gamma\) 的交点记为 \(z’\)。由平面几何的切割线定理得到

\[|z’-a|^2=|z_1-a|\cdot|z_2-a|=R^2\]

所以 \(|z’-a|^2=R^2\),所以 \(z’\) 在 \(C\) 上,从而 \(\Gamma\) 与 \(C\) 正交(切线与圆 \(C\) 是正交的)。

反之,设过 \(z_1,z_2\) 的任意圆与 \(C\) 正交。

设过 \(z_1,z_2\) 的半径为有限的圆 \(\Gamma\) 与 \(C\) 正交,交点为 \(z’\)。那么 \(R^2=|z’-a|^2=|z_1-a|\cdot|z_2-a|\)。所以

\[|z_1-a|\cdot|z_2-a|=R^2\]

并且再一次由圆的切割线定理,我们知道 \(z_1,z_2\) 在过 \(a\) 点的同一条射线上。所以 \(z_1,z_2\) 是关于 \(C\) 的对称点。

另外,若联接 \(z_1,z_2\) 的直线 \(\Gamma\) 是与 \(C\) 是正交的。则 \(\Gamma\) 过 \(a\) 点,所以 \(z_1,z_2\) 在过 \(a\) 的同一条射线上,因此 \(z_1,z_2\) 是关于 \(C\) 的对称点。证毕。

这一节的主要结论是下面的定理。

3,定理:分式线性函数将对称点变成对称点。

证明:由上一节我们知道,分式线性函数 \(\displaystyle w=\frac{az+b}{cz+d}\) 将圆 \(C\) 变成圆 \(C’\)。它也将过 \(z_1,z_2\) 的任一圆 \(\Gamma\) 变成 \(w\) 平面上的圆 \(\Gamma’\)。

再由分式线性函数的保形性,\(\Gamma’\) 与 \(C’\) 正交,即过 \(\displaystyle w_1=\frac{az_1+b}{cz_1+d}\) 与 \(\displaystyle w_2=\frac{az_2+b}{cz_2+d}\) 的任一圆 \(\Gamma’\) 与 \(C’\) 正交。由上面的定理,我们知道 \(w_1,w_2\) 为关于 \(C’\) 的对称点。