1，保形性：
（1）\(w=z+b\)，则对于任意的 \(z\)，\(w’=1\ne 0\)，是保形的；
（2）\(w=rz\)，则 \(w’=r\ne 0\)，也是保形的；
（3）\(w=e^{i\theta}z\)，则有 \(w’=e^{i\theta}\ne 0\)，也是保形的；
（4）\(w=\frac{1}{z}\)，那么对于 \(z\ne 0\)，\(w’=-\frac{1}{z^2}\ne 0\)，是保形的。
对于 \(z=0\) 和 \(z=\infty\) 两点处的曲线的夹角，我们补充如下定义：
定义：两个曲线在扩充 \(w\) 平面 \(\infty\) 处的夹角 \(\theta\) 定义为 \(w=\frac{1}{z}\) 的原像在 \(z=0\) 处的夹角 \(\theta\)；反之 \(z\) 平面上 \(\infty\) 处两曲线的夹角 \(\theta\) 定义为 \(w=\frac{1}{z}\) 在 \(w\) 平面原点处的像曲线的夹角。
这样定义的夹角，在 \(\infty\) 和 \(0\) 处自然是保形的。
综合以上几个结论，我们得到，分式线性函数是保形的。
2，保交比性：
（1）我们先定义四个点的交比：四个有顺序 的点 \(z_1,z_2,z_3,z_4\) 构成的比率\[\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\]
称为这四个点的交比。若有一个点为 \(\infty\)，则该点所在的项用 \(1\) 来代替。例如 \(z_1=\infty\)，则交比为 \(\displaystyle\frac{1}{z_4-z_2}:\frac{1}{z_3-z_2}\)
（2）定理（分式线性函数的保交比性）：在分式线性变换下，四点的交比不变。即若 \(\displaystyle w_i=\frac{az_i+b}{cz_i+d}, \quad 1\le i\le 4\)，则
\[\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}=\frac{w_4-w_1}{w_4-w_2}:\frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}\]
证明：设 \(\displaystyle w_i\frac{az_i+b}{cz_i+d}, \quad 1\le i\le 4\)，则
\[w_i-w_j=\frac{az_i+b}{cz_i+d}-\frac{az_j+b}{cz_j+d}=\frac{(ad-bc)(z_i-z_j)}{(cz_i+d)(cz_j+d)}\]
所以\begin{align*}\frac{w_4-w_1}{w_4-w_2}:\frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}&=\frac{\frac{az_i+b}{cz_i+d}-\frac{az_j+b}{cz_j+d}=\frac{(ad-bc)(z_4-z_1)}{(cz_4+d)(cz_1+d)}}{\frac{(ad-bc)(z_4-z_2)}{(cz_4+d)(cz_2+d)}}:\frac{\frac{(ad-bc)(z_3-z_1)}{(cz_3+d)(cz_1+d)}}{\frac{(ad-bc)(z_3-z_2)}{(cz_3+d)(cz_2+d)}}\\ &=\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}\cdot \frac{(cz_4+d)(cz_2+d)}{(cz_4+d)(cz_1+d)}:\left[\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\cdot\frac{(cz_3+d)(cz_2+d)}{(cz_3+d)(cz_1+d)}\right]\\ &=\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\end{align*}
所以分式线性函数保持交比不变。
如果确定了平面上三个点的像，那么就确定了唯一一个分式线性函数，我们有如下的定理。
（3）定理：设有分式线性函数将 \(z\) 平面上的三个点 \(z_1,z_2,z_3\) 依次变成 \(w_1,w_2,w_3\) ，则此分式线性函数就被唯一确定，并且
\[\frac{w-w_1}{w-w_2}:\frac{w_3-w_1}{w_3-w_2}=\frac{z-z_1}{z-z_2}:\frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}\]
例1，求将 \(2,i,-2\) 对应变成 \(-1,i,1\) 的分式线性变换。
解：由上面的定理，
\begin{align*}&\frac{w+1}{w-i}:\frac{1+1}{1-i}=\frac{z-2}{z-i}:\frac{-2-2}{-2-i}\\ \Rightarrow&\frac{w+1}{w-i}:\frac{2}{1-i}=\frac{z-2}{z-i}:\frac{4}{2+i}\\ \Rightarrow&\frac{w+1}{w-i}=\frac{z-2}{z-i}\cdot\frac{2+i}{4}\cdot \frac{2}{1-i}=\frac{(1+3i)(z-2)}{4(z-i)}\\ \Rightarrow&\frac{w+1}{w-i}= \frac{(1+3i)(z-2)}{4(z-i)}\end{align*}
由关系式\[\frac{x}{y}=\frac{a}{b}\quad\Rightarrow \quad \frac{x}{x-y}=\frac{a}{a-b}\]
我们可以得到
\begin{align*}&\frac{w+1}{w-i}= \frac{(1+3i)(z-2)}{4(1-i)}\\ \Rightarrow&\frac{w+1}{(w+1)-(w-i)}= \frac{(1+3i)(z-2)}{(1+3i)(z-2)-4(z-i)}\\ \Rightarrow& \frac{w+1}{1+i}=\frac{(1+3i)(z-2)}{(1+3i)(z-2)-4(z-i)}\\ \Rightarrow&w=\frac{(1+3i)(z-2)(1+i)}{(1+3i)(z-2)-4(z-i)}-1\end{align*}
化简，得到 \[w=\frac{z-6i}{3iz-2}\]