1，保形映射的一个基本问题是，能否有一个函数 \(f\)，将区域 \(D\) 变成区域 \(G\)，甚至，更特别的是，能否将一个区域变成单位圆？这就是黎曼映射定理。
2，定理（黎曼映射定理）：若 \(D\subseteq C\) 为单连通区域，其边界多于一点（不是全平面）。\(z_0\) 为 \(D\) 中任意一点，则在 \(D\) 上存在唯一一个单叶解析函数 \(f(z)\)，将 \(D\) 映射到单位圆 \(|w|<1\) 上，且有 \(f(z_0)=0, f'(z_0)>0\)。
我们略去这个定理的证明。它的证明需要用到“正规簇”的概念。想要了解的同学可以参考：龚昇，简明复分析。
这个定理的意义在于：（1）拓扑等价与全纯等价是一致的；（2）它是近代复变函数几何理论的起点；（3）可以将复杂区域上的问题变成简单区域上的问题（单位圆上）。
但这个定理没有给出如何求 \(f(z)\)，只是给出了存在性。也没有给出边界的对应关系。
在简单的情形，有如下的边界对应原理。
2，边界对应原理：若 \(D\) 是由简单闭曲线 \(\Gamma\) 所围成的区域。若 \(w=f(z)\) 为 \(D\) 上的单叶解析函数，将 \(D\) 映射到单位圆 \(|w|<1\)，则 \(f(z)\) 可扩充到 \(\Gamma\) 上，使得 \(f(z)\) 在 \(\bar{D}=D+\Gamma\) 上连续，且在 \(\Gamma\) 上的点与单位圆周 \(|w|=1\) 的点之间有一一对应关系。
应用上比较方便的边界对应原理可以叙述成这样：
3，边界对应原理：若 \(D\) 由一条简单闭曲线 \(\Gamma\) 围成，函数 \(f(z)\) 在 \(\bar{D}=D+\Gamma\) 上解析，且把 \(\Gamma\) 一一映射成单位圆周，则
（1） \(f(z)\) 把 \(D\) 映成单位圆 \(|w|<1\)；
（2）\(\Gamma\) 的正向对应 \(|w|=1\) 的正向。