柯西积分定理是对单连通区域成立的，但是它也可以推广到复连通区域上去。我们在复连通区域上添加辅助线，将复连通区域划分成几个单连通区域，然后应用柯西积分定理在每一个单连通区域上。因为在辅助线上，积分相互抵消，所以我们得到了复连通区域上的柯西积分定理。
1，柯西积分定理：设 \(D\) 为一单连通区域，\(f(z)\) 在 \(D\) 内解析，在 \(D\) 的边界 \(C\) 上连续，则
\[\int_Cf(z)dz=0\]
2，定理（复连通区域上的柯西积分定理）：设 \(D\) 是由复围线 \(C_1,C_2\) 所包围的复连通区域，
\(f(z)\) 在 \(D\) 内连续，在 \(C_1,C_2\) 上连续，则
\[\int_{C_1}f(z)dz-\int_{C_2}f(z)dz=0\]
其中 \(C_1,C_2\) 取正向。
证明：我们添加辅助线 \(L_1,L_2\) 将区域 \(D\) 分成两个单连通区域 \(D_1\) 和 \(D_2\) ，
在两个单连通区域内部，函数解析，在两个单连通区域的边界上，函数连续，所以可以分别应用柯西积分定理，在两个区域边界上的积分为 \(0\)。
因为在两条辅助线 \(L_1,L_2\) 上，积分一正一负，相互抵消，而在围线 \(C_2\) 上，积分的方向是负方向，所以
\[\int_{C_1}f(z)dz+\int_{C_2^-}f(z)dz=0\]
也就是
\[\int_{C_1}f(z)dz-\int_{C_2}f(z)dz=0\]