柯西-古萨定理的证明分成三步：第一步，区域上的解析函数在区域内的任意一个三角形边界上积分为 \(0\)；第二步， 在区域内的任意多边形上证明此定理；第三步，在区域内的任意一条简单闭曲线上证明此定理。
这一节，我们证明的是第一步，在区域内的任意一个三角形边界上证明此定理。
1，定理（柯西-古萨定理）：设 \(f(z)\) 在区域 \(R\) 上解析， \(C\) 为 \(R\) 内任一简单闭曲线，则
\[\oint_Cf(z)dz=0\]
证明：第一步，证明在任意三角形边界上积分为 \(0\)。
取三角形三边中点，将三点连线成三条直线，将三角形分成四个全等三角形。
记 \(T\) 为三角形或者它的边界，\(\displaystyle I=\int_Tf(z)dz\)， \(I=I_1^1+I_1^2+I_1^3+I_1^4\)，下标表示第一次划分，上标表示第几个三角形。
上面四个三角形上的积分中，至少有一个积分的绝对值大于原积分绝对值的 \(\frac{1}{4}\)，不妨设第一个积分
\[|I_1^1|\ge \frac{1}{4}|I|, \quad \oint_{T_1}f(z)dz\]
我们再对 \(T_1\) 划分成四个三角形，在这中个三角中，又至少有一个三角形上积分的绝对值大于 \(T_1\) 上积分的绝对值的 \(\frac{1}{4}\)；重复进行这样的过程，我们得到一系列的三角形
\[T\supset T_1\supset\cdots\supset T_n\supset\cdots\]
而且
\[I_n=\oint_{T_n}f(z)dz,\quad |I_n|\ge \frac{I}{4^n}\]
若 \(L\) 为 \(T\) 的周长， \(L_n\) 为 \(T_n\) 的周长。
\[L_n=\frac{L}{2^n}\]
由我们前面的划分方式，我们知道 \(T,T_1,T_2,\cdots,T_n,\cdots\) 有一个公共点 \(z_0\)。由假设 \(f(z)\) 在 \(z_0\) 处连续可导，那么给定任意的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(|z-z_0|<\delta\) 时，
\[|f(z)-f(z_0)-f'(z_0)(z-z_0)|<\epsilon|z-z_0|\]
也就是说，
\[f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+\eta(\epsilon)(z-z_0)\]
其中 \(\lim_{z\to z_0}\eta(\epsilon)=0, \quad |\eta(\epsilon)|<\epsilon\)。取 \(n\) 足够大，使得 \(T_n\) 全部位于 \(|z-z_0|<\delta\) 之内，所以
\begin{align*}I_n&=\oint_{T_n}f(z)dz=\oint_{T_n}f(z_0)dz+\oint_{T_n}f'(z_0)(z-z_0)dz+\oint_{T_n}\eta(\epsilon)(z-z_0)dz\\ &=f(z_0)\oint_{T_n}dz+f'(z_0)\oint_{T_n}(z-z_0)dz+\oint_{T_n}\eta(\epsilon)(z-z_0)dz\\ &=\oint_{T_n}\eta(\epsilon)(z-z_0)dz\end{align*}
前两个积分为 \(0\) 是因为在闭曲线上积分，由平面上的格林公式就知道它们为 \(0\)。
所以
\begin{align*}|I_n|&=\left\oint_{T_n}\oint_{T_n}\eta(\epsilon)(z-z_0)dz\right|\le \frac{L_n}{2}\cdot\epsilon\cdot L_n=\frac{\epsilon}{2}L_n^2\end{align*}
这里 \(|z-z_0|\le\frac{L_n}{2}\) 是因为两个点位于三角形内部，它们的距离显然小于三角形周长的一半。
又因为 \( \frac{1}{4^n}|I|\le |I_n|\)，所以
\begin{align*}|I|&\le 4^n|I_n|\le 4^n\cdot\frac{\epsilon}{2}L_n^2\\ &=4^n\cdot\frac{\epsilon}{2}\left(\frac{L}{2^n}\ritht)^2=\frac{\epsilon}{2}L^2\end{align*}
令 \(\epsilon\to 0\)，我们得到 \(|I|=0\)，所以
\[\oint_Tf(z)dz=0\]这样我们证明了在任意一个三角形边界上，积分为 \(0\)。