由柯西积分公式，我们可以得到解析函数的高阶导数公式。并且，我们知道，如果函数在一点处解析，那么函数在该点无限次可微。也就是说，函数在一点处有一阶导数，则可保证在函数该点无穷次可微。
1，定理（解析函数的高阶导数）：若 \(f(z)\) 在简单闭曲线 \(C\) 内解析，\(z_0\) 为 \(C\) 内部一点，则
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz, n=1,2,\cdots\]
这个定理表明，函数若在一点解析，那么它的所有阶导数都存在。这一个性质是实函数所不具备的。
证明：我们分几步来证明这个公式。
（1）由柯西积分公式
\[f(z_0)\frac{1}{2\pi}=\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz,\quad f(z_0+h)=\frac{1}{2\pi}\oint_C\frac{f(z)}{z-(z_0+h)}dz\]
其中 \(|h|\) 足够小，使得 \(z_0+h\) 还位于 \(C\) 内部。
\begin{align*}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}&=\frac{1}{2\pi i h}\oint_C\frac{f(z)}{z-(z_0+h)}dz-\frac{1}{2\pi i h}\oint_C\frac{f(z)}{z-z_0}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i h}\oint_C\frac{hf(z)}{(z-z_0)(z-z_0-h)}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i }\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)(z-z_0-h)}dz\end{align*}
所以
\begin{align*}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}&-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i }\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)(z-z_0-h)}dz-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{(z-z_0)-(z-z_0-h)}{(z-z_0)^2(z-z_0-h)}f(z)dz\\ &=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{hf(z)}{(z-z_0)^2(z-z_0-h)}dz\end{align*}
所以若 \(|z-z_0|<d, |z-z_0-h|<d\)，\(d\) 为 \(z_0\) 到\(C\) 的最短的距离的一半，也就是说，\(z_0\) 到 \(C\) 的最短距离大于 \(2d\)。则
\begin{align*}\left|\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\right|&=\left|\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{hf(z)}{(z-z_0)^2(z-z_0-h)}dz\right|\\ &\le \frac{|h|}{2\pi}\cdot\frac{ML}{d^3}\end{align*}
其中 \(M\) 是 \(|f(z)|\) 在 \(C\) 上的最大值，\(L\) 为 \(C\) 的长度。
令 \(h\to 0\)，就得到
\[\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}-\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\to 0\]
也就是说
\[f'(z_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\]
由此我们证明了 \(n=1\) 时，定理的正确性。
（2）由前一步
\[f'(z_0+h)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0-h)^2}, \quad f'(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^2}dz\]
完全类似于前一步，我们有
\[f^{\prime\prime}(z_0)=\frac{2}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^3}dz\]
（3）由数学归纳法，完全类似于第一步，可以证明
\[f^{(n)}(z_0)=\frac{n!}{2\pi i}\oint_C\frac{f(z)}{(z-z_0)^{n+1}}dz, n=1,2,\cdots\]
证毕。
事实上，这个求导公式更可能用来求积分。
例1，求积分 \(\displaystyle\oint_{|z|=1}\frac{\cosh z}{z^4}dz\)。
解：由解析函数的高阶求导公式，
\begin{align*}\oint_{|z|=1}\frac{\cosh z}{z^4}dz&=\frac{2\pi i}{3!}(\cosh z)^{(3)}\Big|_{z=0}\\ &=\frac{2\pi i }{6}\cdot 0=0\end{align*}