一致收敛的级数 – 四都教育

跟数学分析一样，我们可以定义函数序列和级数的一致收敛性。一致收敛的复函数序列和复级数有着与实函数差不多的性质。

1，一致收敛的函数列：我们说一个复函数序列 ${f_{n} (z)}$ 在集合 $E \subset C$ 上一致收敛到 $f (z)$ ，意思是说，对任何的 $ϵ > 0$ ，存在一个不依赖于 $z$ ，只依赖于 $ϵ$ 的 $n_{0}$ ，使得当 $n > n_{0}$ 时，不等式 $| f (z) - f_{n} (z)$ 都成立。

对于一致收敛的函数列，我们有下述的定理：

2，定理：一致收敛的连续函数列，其极限函数也是连续的。即若 ${f_{n} (z)}$ 一致收敛到 $f (z)$ ，且 $f_{n} (z), n = 1, 2, \dots$ 都连续，则 $f (z)$ 也是连续的。

它的证明与实函数一样，我们略过。

判断一个函数列是否为一致收敛，基本的方法是柯西收敛准则。

3，柯西收敛准则： ${f_{n} (z)}$ 在集合 $E \subset C$ 上一致收敛的充分必要条件是：对任何的 $ϵ > 0$ ，存在只依赖于 $ϵ$ ，不依赖于 $z$ 的 $n_{0}$ ，使得当 $m, n > n_{0}$ 时， $| f_{m} (z) - f_{n} (z) | < ϵ$ 成立。

因为级数的收敛性是由它的部分和序列来定义的，所以我们将函数列改成部分和序列，就得到了级数的一致收敛性定义。

4，一致收敛的级数：若在集合 $E \subset C$ 上有函数 $f (z)$ ，使得对任何的 $ϵ > 0$ ，存在一个不依赖于 $z$ ，只依赖于 $ϵ$ 的 $n_{0}$ ，使得当 $n > n_{0}$ 时，不等式 $| f (z) - S_{n} (z)$ 都成立，我们称级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (z)$ 一致收敛到 $f (z)$ 。这里 $S_{n} (z)$ 是级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (z)$ 的部分和序列。

对于复级数来说，我们也有一致收敛的柯西准则。

5，级数一致收敛的柯西准则：在集合 $E \subset C$ ，若对任何的 $ϵ > 0$ ，存在只依赖于 $ϵ$ ，不依赖于 $z$ 的 $n_{0}$ ，使得当 $m, n > n_{0}$ 时， $| f_{m} (z) + f_{m + 1} (z) + \dots + f_{n} (z) | < ϵ$ 成立，则级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (z)$ 一致收敛。

由柯西收敛准则，我们可以得到重要的 Weierstrass 判别法。

6，Weierstrass 判别法：设级数在集合 $E \subset C$ 上定义， $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 为一正项级数，若存在 $n_{0}$ ，使得当 $n > n_{0}$ 时， $| f_{n} (z) | \leq a_{n}$ 都成立。如果 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (z)$ 一致收敛。

这里正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 称为函数项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (z)$ 的优级数。

证明：因为函数项级数的余项满足 $\sum_{k = n + 1}^{\infty} f_{k} (z) \leq \sum_{k = n + 1}^{\infty} z_{k}$ 因为正项级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，所以它的余项趋于 $0$ ，也就是说，对任何 $ϵ > 0$ ，存在 $n_{0}$ ，使得当 $n > n_{0}$ 时， $\sum_{k = n + 1}^{\infty} z_{k} < ϵ$ 成立。从而 $\sum_{k = n + 1}^{\infty} f_{k} (z) < ϵ$ 成立。所以级数 $\sum_{n = 1}^{\infty} f_{n} (z)$ 一致收敛。

现在我们可以证明幂级数的一致收敛性了。

7，定理（幂级数的一致收敛性）：设幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ 的收敛半径为 $R$ ，则在圆 $| z | \leq ρ, (ρ < R)$ 内，此级数一致收敛。

证明：我们可以应用 Weierstrass 判别法来证明。

因为 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ 在 $| z | < R$ 内收敛，则对于 $ρ < R_{1} < R$ 的 $R_{1}$ ，级数在 $| z | = R_{1}$ 的圆周上收敛。在 $| z | = R_{1}$ 上取一点 $z_{1}$ ，那么在闭圆 $| z | \leq ρ$ 内， $| a_{n} z^{n} | = | a_{n} z_{1}^{n} \cdot \frac{z^{n}}{z_{1}^{n}} | = | a_{n} z_{1}^{n} | \cdot | \frac{z^{n}}{z_{1}^{n}} |$ 因为 $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} z_{1}^{n}$ 收敛，所以它的每一项有界，我们设 $| a_{n} z_{1}^{n} | \leq M$ ，又设 $| \frac{z}{z_{1}} | = q < 1$ ，从而 $| a_{n} z^{n} | = | a_{n} z_{1}^{n} | \cdot | \frac{z^{n}}{z_{1}^{n}} | \leq M q^{n}$ 因为 $\sum_{n = 1}^{\infty} M q^{n}$ 收敛，由 Weierstrass 判别法，级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ 一致收敛。