根据柯西积分定理，我们可以得到解析函数的一个重要性质：最大模原理。最大模原理的结论是：区域上一个非常数解析函数，在区域内部不可能取到最大模。它的直接推论是：闭区域上不恒等于常数的解析函数，只可能在边界上取到最大模。
我们先证明下列的
1，平均值定理：若函数 \(f(z)\) 在圆 \(|z-z_0|<R\) 内解析，在 \(|z-z_0|=R\) 上连续，则
\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta\]
也就是说，函数在圆心处的值等于函数在圆周上的平均值。
证明：由柯西积分定理\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=R}\frac{f(z)}{z-z_0}dz\]
由 \(z\) 的极坐标表示式 \(z=z_0+Re^{i\theta}, 0\le \theta \le 2\pi\)，我们得到 \(dz=Rie^{i\theta}d\theta\)，积分变为
\[f(z_0)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z-z_0|=R}\frac{f(z)}{z-z_0}dz=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}f(z_0+Re^{i\theta})d\theta\]
现在我们可以证明最大模原理。
2，定理（最大模原理）：设 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，则 \(|f(z)|\) 在 \(D\) 内任何点都不能达到最大值，除非 \(f(z)\) 在 \(D\) 内恒等于常数。
证明：（1）我们首先证明若函数在 \(D\) 内取到最大模，则它的模在某个圆内必为常数。
假设函数在 \(z_0\in D\) 处取到最大模，\(|f(z_0)|=M\)，\(|f(z)|\le M\)。由平均值定理，
\begin{align*}M=|f(z_0)|&=\left|\frac{1}{2\pi }\int_0^{2\pi}f(z_0+re^{i\theta})d\theta\right|\\ &\le\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(z_0+re^{i\theta})|d\theta\\ &\le \frac{1}{2\pi}M\cdot 2\pi=M\end{align*}
因为不等式两边的值相等，所以不等式全部变成等式。所以
\begin{align*}& |f(z_0)|=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(z_0+re^{i\theta})|d\theta\\ &\Rightarrow \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}|f(z_0+re^{i\theta})|d\theta-|f(z_0)|=0\\ &\Rightarrow \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}(|f(z_0+re^{i\theta})|-|f(z_0)|)d\theta=0\\ &\Rightarrow |f(z_0+re^{i\theta})|-|f(z_0)|=0\end{align*}
也就是说，对于所有的 \(z\in |z-z_0|=r\)，\(|f(z)|=M\) 是常数。进而，在\( |z-z_0|=r\) 的内部每一个以 \(z_0\) 为心的圆周上，函数值为常数，也就是说在 \( |z-z_0|=r\) 的内部，函数都等于常数。
（2）其次我们证明函数本身在该圆内也是常数。因为在 \( |z-z_0|=r\) 内
\[|f(z)|=M\quad\Rightarrow\quad u^2+v^2=M^2\]
对上式两边求导数，就得到
\[\begin{cases}2uu_x+2vv_x=0\\ 2uu_y+2vv_y=0\end{cases}\]
由柯西-黎曼方程，这个方程组等价于
\[\begin{cases}uu_x-vu_y=0\\ uu_y+vu_x=0\end{cases}\]
因为 \(u^2+v^2=M^2\)，上面的方程组对于 \(u,v\) 必有非零解。由齐次线性方程组有非零解的条件，系数行列式
\[\begin{vmatrix}u_x&-u_y\\ u_y&u_x\end{vmatrix}=u_x^2+u_y^2=0\]
也就是说 \(u_x=0,u_y=0\)，所以 \(u=\)常数。再由柯西-黎曼方程，我们又得到 \(v_x=0,v_y=0\)，所以 \(v=\)常数。所以 \(f(z)=\)常数。
（3）在 \( |z-z_0|=r\) 内\(f(z)=\)常数，由解析函数的唯一性定理，在整个 \(D\) 内， \(f(z)=\)常数。证毕。
这个定理的一个直接推论是
2，推论：若 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，在 \(\bar{D}\) 上连续，则 \(|f(z)|\) 的最大值只能在 \(D\) 的边界 \(\partial D\) 上取到，除非 \(f(z)\) 恒等于常数。