绝对收敛与条件收敛

复级数也可以定义绝对收敛与条件收敛。若级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|z_n|$ 收敛，我们就称级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ 绝对收敛。绝对收敛的级数，本身是收敛的，我们稍后证明这一结论。如果级数本身收敛但不是绝对收敛，我们称它为条件收敛级数。

我们现在来证明，绝对收敛的级数是收敛的。也就是

定理1：若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|z_n|$ 收敛，则级数$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ 收敛。

证明：我们记 $z_n=x_n+i{y}_n$，则 $|z_n|=\sqrt{x_n^2+y_n^2}$，所以 $|x_n|\le |z_n|,|y_n|\le |z_n|$，由正项级数的比较判别法， 若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|z_n|$ 收敛 ，则 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n|$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|y_n|$ 都收敛。所以 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n$ 都绝对收敛，因而是收敛的。

由上一节我们讲过的，复级数收敛的充分必要条件是实部与虚部所组成的级数都收敛，所以由 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n$ 都收敛，我们知道 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ 收敛 。证明完毕。

我们从上面的证明可以看到，复级数绝对收敛，那么它的实部与虚部所组的级数都绝对收敛，其实反过来也对，即如果一个复级数的实部与虚部所组成的级数都绝对收敛，那么复级数本身也是绝对收敛的。我们来证明这一结论。

定理2：级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ 绝对收敛的充分必要条件是 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n$ 都绝对收敛 。

证明：必要性我们已经证明了，现在我们来证明充分性。也就是说若 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_n$ 和 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{y}_n$ 都绝对收敛 ，则 级数 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}_n$ 绝对收敛 。

因为 $|z_n|=\sqrt{x_n^2+y_n^2}\le |x_n|+|y_n|$，所以由比较判别法 $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|z_k|\le \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n|+|y_n|=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|x_n|+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|y_n|$$知道， $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|z_n|$ 收敛。

因为 $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|z_n|$ 是普通的正项级数，所以正项级数的理论都可以用在这里。如果要判断一个复级数是否为绝对收敛，就可以利用正项级数的收敛判别法，例如比较判别法，比值判别法，根值判别法等等。