我们之前所考虑的孤立奇点，都是有限数的情形。现在我们考虑函数在无穷远处的情形。
1，变换 \(\xi=\frac{1}{z}\)：研究无穷远处的孤立奇点，我们做一个变换 \(\xi=\frac{1}{z}\) 将 \(z\) 在无穷远处的领域转换成 \(\xi\) 在 \(0\) 点的领域，这是比较方便的做法。
我们令 \(g(\xi)=f(\frac{1}{\xi})=f(z)\)，则 \(f(z)\) 在无穷远处的奇点类型定义为 \(g(\xi)\) 在\(0\) 点处的奇点类型。
（1）若 \(g(\xi)\) 在 \(0\) 点处是解析的，我们称 \(f(z)\) 在 \(\infty\) 是解析的；
（2）若 \(g(\xi)\) 以 \(0\) 为可去奇点，我们称 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为可去奇点；
（3）若 \(g(\xi)\) 以 \(0\) 为极点，我们称 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为极点；
（4）若 \(g(\xi)\) 以 \(0\) 为本性奇点，我们称 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为本性奇点。
例1：函数 \(f(z)=1+z^2\)，作变换 \(\xi=\frac{1}{z}\)，则 \(g(\xi)=f(\frac{1}{\xi})=1+\frac{1}{\xi^2}\) 以 \(0\) 为二级极点，则 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为二级极点。
设函数 \(f(z)=e^z\)，我们令 \(g(\xi)=f(\frac{1}{\xi})=e^{\frac{1}{\xi}}\) ， 则 \(g(\xi)\) 以 \(0\) 为本性奇点，所以 \(f(z)\) 以 \(\infty\) 为本性奇点。
2，罗朗级数：若 \(f(z)\) 在 \(R<|z|<\infty\) 内解析，则 \(g(\xi)\) 在 \(0<|\xi|<\frac{1}{R}\) 内解析，设 \(g(\xi)\) 的罗朗级数为 \[g(\xi)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}\xi^{-n}+\sum_{n=0}^{\infty}c_n\xi^n\]则 \(f(z)\) 的罗朗级数为 \[f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}z^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^n}\]
所以我们有结论：
（1）若 \(\infty\) 为 \(f(z)\) 的可去奇点，则\[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^n};\]
也就是说罗朗级数只有负指数项与常数项；
（2）若 \(\infty\) 为 \(f(z)\) 的极点，则\[f(z)=c_{-m}z^m+\cdots+c_{-1}z+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^n};\]
正指数项只有有限项；
（3）若 \(\infty\) 为 \(f(z)\) 的本性奇点，则\[f(z)=\sum_{n=1}^{\infty}c_{-n}z^n+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{c_n}{z^n}.\]
正指数项有无穷多项。
例2，\(f(z)=\frac{z}{1+z}\) 在 \(1<|z|<\infty\) 内解析，
\[f(z)=\frac{z}{1+z}=\frac{1}{1+\frac{1}{z}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\left(\frac{1}{z}\right)^n\]
罗朗级数只有负指数项与常数项，所以 \(\infty\) 是函数的可去奇点。
例3，确定 \(f(z)=\sin z\) 在无穷远处奇点的类型。
解：因为
\[f(z)=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots+\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}\]
正指数项有无穷多项，所以 \(\infty\) 是函数的本性奇点。