本性奇点一个与其它孤立奇点本质的区别就是，本性奇点附近，函数可以取到任何值，每一个值可以取到无穷次。这就是毕卡大定理的结论。
1，本性奇点的特征：在之前的课程里，我们说明了，若 \(\lim_{z\to a}f(z)\) 既不存在也不是无穷大，则 \(z=a\) 就是函数的本性奇点。
Weirstrass （魏尔斯特拉斯）首先证明了，复变函数在其本性奇点附近，可以趋近于任何值。这就是
2，（Weirstrass）魏尔斯特拉斯定理：若 \(a\) 是函数 \(f(z)\) 的本性奇点，则任给正数 \(\delta>0, \epsilon>0\) 及任意复数 \(A\)（有限或者无限），在 \(0<|z-a|<\delta\) 内有一点 \(z\)，使得 \(|f(z)-A|<\epsilon\) 成立。
证明：（1）若 \(A=\infty\)，定理正确。因为 \(f(z)\) 在 \(a\) 附近无界。否则， \(z=a\) 就是 \(f(z)\) 的可去奇点。（可去奇点的一个特征就是函数在它附近有界。）
（2）若 \(A\) 为有限数。我们可以用反证法来证明。假设存在有限数 \(A\)，使得 \(|f(z)-A|>\epsilon\) 在 \(0<|z-a|<\delta\) 内成立。令 \[F(z)=\frac{f(z)-A}{z-a}\]则 \[\lim_{z\to a}F(z)=\infty\] 因为分子不趋近于 \(0\) 而分母 趋近于 \(0\)。所以 \(z=a\) 为函数 \(F(z)\) 的极点。所以 \(F(z)\) 在 \(z=a\) 附近可以展开成罗朗级数
\[F(z)=c_{-m}(z-a)^{-m}+\cdots+c_{-1}(z-a)^{-1}+c_0+\cdots\]
所以在 \(z=a\) 附近， \(f(z\) 有罗朗级数 \[f(z)=c_{-m}(z-a)^{-m+1}+\cdots+(c_{-1}+A)+c_0(z-a)+\cdots\]
所以 \(z=a\) 是 \(f(z)\) 的极点，这与 \(z=a\) 是 \(f(z)\) 的本性奇点矛盾。证毕！
我们举一个例子，说明函数在本性奇点附近可以趋近于任何值。
例1：设函数 \(f(z)=e^{\frac{1}{z}}\)，则 \(z=0\) 是函数的本性奇点。我们说明在 \(z=0\) 附近，函数可以趋近于任何数值。
（1）如果取 \(z=\frac{1}{n}\)，则 \(e^{\frac{1}{z}}=e^n\to \infty\);
（2）如果取 \(z=-\frac{1}{n}\)，则 \(e^{\frac{1}{z}}=e^{-n}\to 0\);
（3）若 \(A\) 为任何不为 \(0\) 的有限值，我们可以用解方程的方法证明函数值可以趋近于 \(A\)。因为要求 \(e^{\frac{1}{z}}=A\)，我们可以在两边取对数
\[\frac{1}{z}=\text{Ln}A=\ln A+2k\pi i, \quad i=0,\pm 1,\pm 2,\cdots\]
所以取 \[z_k=\frac{1}{\ln A+2k\pi i}\]那么 \(k\to\infty\) 时，\(z_k\to 0\) 并且 \(e^{\frac{1}{z_k}}\to A\)。
Weirstrass 定理后来被毕卡给出了更严密的结果，称为毕卡（大）定理：
2，毕卡（大）定理：若 \(f(z)\) 以 \(z=a\) 为本性奇点，则对于每一个 \(A\ne\infty\) 除可能一个值以外，必有趋近于 \(a\) 的数列 \(\{z_n\}\)，使得 \(f(z_n)=A\)。
这个定理说明了，函数在本性奇点附近，不但可以逼近于任何数值（也许有一个例外），而且可以取到任何数值，而取到的次数是无穷多次（函数在整个数列的函数值都是） 。
毕卡对这个定理的原始证明很短，但是用一个叫做“椭圆模函数”的工具，这已经超出了我们这门课的范围。后来也有不少的比较初等的证明，但大部分都很繁复。我们就不涉及了。