无穷远点一般也是函数的奇点，这一节我们讲述如何计算函数在无穷远处的留数。
1，无穷远处的留数：设 \(f(z)\) 在 \(R<|z|<\infty\) 内解析，则定义无穷远处的留数为
\[\text{Res}(f(z),\infty)=-\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=\rho}f(z)dz\]
这里 \(R<\rho<\infty\)。这样的定义，是因为无穷大在圆\(|z|=\rho\) 的外部，根据区域边界定向的定义，圆\(|z|=\rho\) 的外部区域的边界是 \(|z|=\rho\)，它的定向是顺时针。与曲线的定向相反，所以取负号。
2，由上述的定义，我们有
\[\text{Res}(f(z),\infty)=-c_{-1}\]
3，定理： \(f(z)\) 在扩充复平面上的留数之和为 \(0\)。
证明：设 \(z_1,z_2,\cdots,z_n,\infty\) 为函数的孤立奇点，\(|z|=\rho\) 包含 \(z_1,z_2,\cdots,z_n\) 为其内点，由留数定理
\[\int_{|z|=\rho}f(z)dz=2\pi i\sum_{i=1}^n\text{Res}(f(z),z_i)\]
而
\[\int_{|z|=\rho}f(z)dz=-2\pi i \text{Res}(f(z),\infty)\]
所以
\[\sum_{i=1}^n\text{Res}(f(z),z_i)+\text{Res}(f(z),\infty)=\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=\rho}f(z)dz-\frac{1}{2\pi i}\int_{|z|=\rho}f(z)dz=0\]
证毕。
这个定理可以用来计算奇点较多的时候的积分。因为无穷远处的留数只需要计算一次，而一一计算内部的留数的话，计算量较大。来看例子。
例1，计算积分 \(\displaystyle\int_{|z|=4}\frac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^3}dz\)。
解：从函数的表达式，我们知道，被积函数有\(7\) 个孤立奇点，除了 \(\infty\) 以外，其余都在 \(|z|=4\) 的内部，如果一一计算内部奇点留数的话，需要计算 \(6\) 次。如果利用上述的定理，我们只需要计算无穷远处的留数即可。也就是
\[\int_{|z|=4}\frac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^2}dz=-2\pi i\text{Res}(f(z),\infty)\]
我们来求被积函数的罗朗展开式（只需要知道 \(c_{-1}\) 即可）。
\begin{align*}\frac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^2}&=\frac{z^{15}}{z^4(1+\frac{1}{z^2})^2\cdot z^{12}(1+\frac{2}{z^4})^3}\\ &=\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{(1+\frac{1}{z^2})^2}\cdot\frac{1}{(1+\frac{2}{z^4})^3}\end{align*}
因为
\begin{align*}\frac{1}{(1+z)^2}&=-\left(\frac{1}{1+z}\right)’=-(1-z+z^2-z^3+\cdots)’=1-2z+3z^2+\cdots\\ \frac{1}{(1+z)^3}&=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(1+z)2}\right)’=-\frac{1}{2}(1-2z+3z^2+\cdots)’=1-3z+\cdots\end{align*}
作变量代换，得到
\begin{align*}\frac{1}{(1+\frac{1}{z^2})^2}&=1-2\frac{1}{z^2}+3\frac{1}{z^4}+\cdots\\ \frac{1}{(1+\frac{2}{z^4})^3}&=1-3\frac{2}{z^4}+\cdots\end{align*}
所以
\begin{align*}\frac{1}{z}\cdot\frac{1}{(1+\frac{1}{z^2})^2}\cdot\frac{1}{(1+\frac{2}{z^4})^3}&=\frac{1}{z}\cdot(1-2\frac{1}{z^2}+\cdots)\cdot(1-3z^4+\cdots) \\ &=\frac{1}{z}+\cdots\end{align*}
所在无穷远处的留数为 \(\text{Res}(f(z),\infty)=-c_{-1}=-1\)。由无穷远处留数的定义，
\[\int_{|z|=4}\frac{z^{15}}{(z^2+1)^2(z^4+2)^2}dz=-2\pi i\text{Res}(f(z),\infty)=2\pi i\]