我们定义复数域上的反三角函数为复三角函数的反函数。利用三角函数与指数函数之间的关系，我们可以得到反三角函数与指数函数之的关系。
1，反三角函数：定义为三角函数的反函数
\[z=\sin w\quad\Rightarrow\quad w=\arcsin z=\sin^{-1}z\]
\[z=\cos w\quad\Rightarrow\quad w=\arccos z=\cos^{-1}z\]
现在我们根据三角函数与指数函数之间的关系，求出反三角函数的表达式。
2，\(w=\arccos z\) 的表达式。
\begin{align*}z=\cos w=\frac{e^{iw}+e^{iw}}{2}&\Rightarrow\quad e^{iw}+e^{-iw}-2z=0\\ &\Rightarrow \quad e^{2iw}-2ze^{iw}+1=0\\ &\Rightarrow \quad e^{iw}=\frac{2z\pm\sqrt{4z^2-4}}{2}\\ &\qquad\qquad =z\pm\sqrt{z^2-1}\end{align*}
我们之后证明，对于复数来讲，\(z+\sqrt{z^2-1}\) 与 \(z-\sqrt{z^2-1}\) 给出同样的两个复数，所以
\begin{align*}e^{iw}=z+\sqrt{z^2-1}&\Rightarrow\quad iw=\text{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})\\ &\Rightarrow\quad w=-i\text{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})\end{align*}
3，我们证明 \(z+\sqrt{z^2-1}\) 与 \(z-\sqrt{z^2-1}\) 给出同样的两个复数。
方程 \(az^2+bz+c=0\) 的解为 \(z=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)。我们记 \(b^2-4ac=re^{i\theta}\)，则
\begin{align*}z&=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\ &=-\frac{b}{2a}\pm r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2}}, k=0,1\end{align*}
当 \(k=0\) 时，\(z=-\frac{b}{2a}\pm r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}\)；
当 \(k=1\) 时，\(z=-\frac{b}{2a}\pm r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}\cdot e^{\pi i}=-\frac{b}{2a}\mp r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta}{2}}\)。
所以 \(-\frac{b}{2a}+ r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2}}\) 与 \(-\frac{b}{2a}-r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2}}\) 得到到的是两个同样的数字。所以只要取
\[z=-\frac{b}{2a}+ r^{\frac{1}{2}}e^{i\frac{\theta+2k\pi}{2}}\]
就可以了。
4，反正弦与反正切函数：同样的推导， 我们可以得到
\[\arcsin z=-i\text{Ln}(z+\sqrt{z^2+1}),\quad \arctan z=\frac{1}{2i}\text{Ln}\frac{1+iz}{1-iz}\]
5，利用反函数的导数，可以求出
\(\displaystyle(\arcsin z)’=\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\):
\(\displaystyle(\arccos z)’=-\frac{1}{\sqrt{1-z^2}}\):
\(\displaystyle(\arctan z)’=\frac{1}{1+z^2}\)。
可以看到，这些公式在形式上与实函数的一样。