复变函数就是定义在复数域上的函数，它的定义域与值域都是复数。我们通常记为 \(w=f(z)\)，因为复变函数的定义域与值域都在面上，要画出它们的图形需要在四维空间里进行，我们没办法在我们通常所处的三维空间里给出。所以对于复变函数来说，我们分别用两张平面来表示复变函数的图形，一张平面表示原像，另一张表示它的像。
1，复变函数：区域 \(D\) 上的每一个复数 \(z\)，都有唯一的复数 \(w\) 与之对应，记为 \(w=f(z)\)，称为 \(D\) 上的复变函数。
（1）要注意的是，这里 \(z,w\) 都是复数，\(f\) 是为它们的对应关系。
（2）\(z=x+iy, w=f(x+iy)\) 都是复数，\(w\) 也有它的实部和虚部，它们都是 \(x,y\) 的函数，我们记为
\[w=f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)\]
例1：\(w=z^2\)，则
\[w=(x+iy)^2=x^2+2ixy-y^2=(x^2-y^2)+2ixy\]
所以 \(u(x,y)=x^2-y^2, v(x,y)=2xy\)。
例2：\(w=\frac{1}{\bar{z}}\)，则
\[w=\frac{1}{\bar{z}}=\frac{1}{x-iy}=\frac{x+iy}{(x-iy)(x+iy)}=\frac{x+iy}{x^2+y^2}\]
所以 \(\displaystyle u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2}, v(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}\)。
（3）复变函数的定义域为 \(D\)，如果没有特别指出区域 \(D\)，一般约定使得函数有意义的区域为函数的定义域。例如函数 \(w=\frac{1}{z}\) 的定义域为 \(z\ne 0\)。
（4）值域：所有函数的取值，就是 \(w\) 所能取到的所有的值的集合。
2，复变函数的极限与通常的实数函数一样，我们说函数 \(w=f(z)\) 在点 \(z_0\) 处有极限 \(A\)（复数），\[\lim_{z\to z_0}f(z)=A\]是说：对任意的 \(\epsilon>0\)，存在 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|z-z_0|<\delta\) 时，不等式 \(|f(z)-A|<\epsilon\) 成立。
要注意的是，函数在一点处的极限存在，是指当 \(z\) 以任意方向趋于 \(z_0\) 时，函数的极限都存在且相等。这与二元实函数的性质一致。所以证明极限不存在，我们只需要证明存在两个方向 ，函数的极限不相等即可。但是要证明极限存在，我们可用的工具不多，基本上得用极限的定义，三明治定理或者化成一元函数的情形来求。
3，连续的定义也与实数的一致。我们说函数 \(w=f(z)\) 在点 \(z_0\) 连续，是指 \[\lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0).\]