复变函数的导数

1，函数 $w=f(z)$ 在 $z_0$ 处的导数定义为 $$f^{\prime }(z_0)=\underset{z\to z_0}{lim}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}\text{或者}{f}^{\prime }(z_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}$$这个定义与实函数的定义是一致的。

函数在一点可导，我们称这个函数在这一点“解析”，区域上每一个点都解析的函数称为这个区域上的解析函数，解析函数也称为全纯函数或者正则函数。

我们可以利用这个导数的定义求出一些复变函数的导数，也可以证明一些复变函数是不可导的。我们来看两个例子。

例1：证明函数 $f(z)=z^2$ 在整个复平面上可导，并求其导数。

解：由导数的定义，我们有

$$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(z)& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{(z+h{)}^2-z^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{z^2+2zh+h^2-z^2}{h}=\underset{h\to 0}{lim}(2z+h)\\ & =2z\end{array}$$

一般地，我们有 $(z^n{)}^{\prime }=n{z}^{n-1}$，我们可以用几何级数公式得到这个结果。

例2：证明函数$f(z)=\overline{z}$ 在整个复平面不可导。

证明：因为 $$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}& =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\overline{z+h}-\overline{z}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\overline{z}+\overline{h}-\overline{z}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{lim}\frac{\overline{h}}{h}\end{array}$$

所以当 $h=\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y$ 沿实轴 $\mathrm{\Delta }y=0$ 趋于 $0$ 时，上式为 $1$，而沿虚轴 $\mathrm{\Delta }x=0$ 趋于 $0$ 时，上式为 $-1$，所以极限不存在。因为 $z$ 是平面 上的任意点，所以函数 $f(z)=\overline{z}$ 在整个复平面不可导。

2，导数的运算性质：这些运算性质与实函数的性质是一样的。

（1）${\displaystyle [f(z)\pm g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)\pm g^{\prime }(z)}$；

（2）${\displaystyle [f(z)\cdot g(z){]}^{\prime }=f^{\prime }(z)g(z)+f(z)g^{\prime }(z)}$；

（3）${\displaystyle {\left[\frac{f(z)}{g(z)}\right]}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(z)g(z)-f(z)g^{\prime }(z)}{g^2(z)}}$；

（4）${\displaystyle [f(g(z)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(z))g^{\prime }(z)}$，这是复合函数求导公式（链式法则）。

例3：求 $w=(z^2+2z-1{)}^{10}$ 的导数。

解：由上面第 $4$ 项，复合函数求导公式 $${[(z^2+2z-1{)}^{10}]}^{\prime }=10(z^2+2z-1{)}^9(z^2+2z-1{)}^{\prime }=10(z^2+2z-1{)}^9(2z^2+2)$$