解析开拓一个具体的方法就是幂级数方法。
假如函数 \(f_1(z)\) 可以表示成幂级数
\[f_1(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z_nz^n\]
它在 \(|z|<R\) 内收敛，自然也是解析的。那么 \(f_1(z)\) 在 \(|z_0|\) 处可以展开成泰勒级数，这里 \(|z_0|<R\)。也就是
\[f_2(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n\]
它的收敛半径与收敛域也许不一样。就假设收敛圆为 \(|z-z_0|<\rho\)，这里有两种情形：
（1）\(R-|z_0|<\rho\)。那么收敛圆 \(|z-z_0|<\rho\) 有一部分在 \(|z|<R\) 外面，由以前所述，\(f_1(z)\) 可以解析开拓到 \(|z-z_0|<\rho\)，可以定义
\[F(z)=\begin{cases}f_1(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_nz^n,\qquad & |z|<R\\ f_2(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z-z_0)^n,&|z-z_0|<\rho\end{cases}\]
（2）\(R-|z_0|=\rho\)，这时候，\(|z-z_0|=\rho\) 与 \(|z|=R\) 相切，也就是 \(|z-z_0|<\rho \) 在 \(|z|<R\) 内。而 \(|z-z_0|=\rho\) 与 \(|z|=R\) 相切的点 \(\xi_0\) 就是 \(f(z)\) 的一个奇点。
注：事实上，收敛圆周上一定有奇点。否则就可以将收敛圆再扩大，这就跟收敛圆的定义矛盾。也有可能收敛圆的圆周上的每一个点都是都是奇点。
继续进行上面的这种开拓，可以得到 \(f(z)\) 的所有解析开拓。也就是从一个解析函数开始，沿所有的方向进行开拓，直到不能开拓为止。最后得到一个最大的开拓区域。
例1，幂级数 \[f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^n\]
的收敛圆为 \(|z|<1\)，所以这个幂级数表示一个在单位圆内的解析函数。它的和函数为 \(\frac{1}{1-z}\)。我们可以将这个函数开拓到单位圆外面去。
如果在单位圆内取一点 \(a\ne 0\)，则函数 \(\frac{1}{1-z}\) 在 \(z=a\) 的一个邻域内可以展开成泰勒级数 \[f_2(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(1-z)^{n+1}}(z-a)^n, |a|<1\]
当 \(a=-\frac{1}{2}\)，级数为\[f_2(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n+1}}{3^{n+1}}(z+\frac{1}{2})^n\]这个级数的收敛是半径 \(\frac{3}{2}\)，从而它解析的区域确实有一部分在单位圆外，所以它是函数 \(f(z)\) 的解析开拓。
当 \(a=\frac{1}{2}\) 时，这个级数为\[f_2(z)=\sum_{n=0}^{\infty}2^{n+1}(z-\frac{1}{2})^n\]
它的收敛半径为 \(\frac{1}{2}\)，它的收敛圆与 \(|z|=1\) 相切于 \(z=1\)，所以\(z=1\) 是函数 \(\frac{1}{1-z}\) 的奇点。
我们将所有单位圆内的点作如上的方法开拓以后，就得到了一个更大的解析区域。在此更大的区域上可以继续作解析开拓，从而可以得到 \(f(z)=\frac{1}{1-z}\) 在所有方向上的解析开拓。