我们在学习微积分时，在傅里叶级数部分，我们学习过函数的奇延拓与偶延拓。设函数 \(f(x)\) 定义在 \([0,\pi]\) 上，它的奇延拓定义为
\[F(x)=\begin{cases}f(x),\qquad x\in[0,\pi]\\ -f(-x),& x\in(-\pi,0)\end{cases}\]
偶延拓定义为
\[F(x)=\begin{cases}f(x),\qquad x\in[0,\pi]\\ f(-x),& x\in(-\pi,0)\end{cases}\]
奇延拓为奇函数，偶延拓为偶函数。通过这种方法，我们就将函数的定义域扩大了，它在原来的定义的区间与原来的函数一致。
对于复变函数来说，我们也可以用某种方式将函数的定义域扩大，而在原来的定义域上，函数与原来的函数一致。这就是复变函数的解析开拓。
1，解析开拓：设函数 \(f(z)\) 在区域 \(D\) 内解析，\(D\subset G\)。若在 \(G\) 内有解析函数 \(F(z), F(z)\Big|_D=f(z)\) ，则称 \(F(z)\) 为 \(f(z)\) 在 \(G\) 内的解析开拓，\(f(z)\) 可解析开拓到 \(G\) 内。
例1，\(\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\quad |z|<1\)，那么
\[F(z)=\frac{1}{1-z}, \quad z\ne 1,\qquad F(z)\Big|_{|z|<1}=\sum_{n=0}^{\infty}z^n\]
就是 \(f(z)\) 在复平面上除 \(z=1\) 以外的解析开拓。
2，解析开拓的唯一性：若 \(F(z)\) 和 \(G(z)\) 都是 \(f(z)\) 在 \(G\) 上的解析开拓，\(F(z)\Big|_{D}=f(z), G(z)\Big|_{D}=f(z)\)。则在 \(G\) 上，\(F=G\)。
由解析函数的内部唯一性就可以得到这个定理。
3，互为解析开拓： \(f_1(z)\) 在 \(D_1\) 上解析，\(f_2(z)\) 在 \(D_2\) 上解析， \(D_1\cap D_2=D_3\) 且 \(f_1(z)\Big|_{D_3}=f_2(z)\Big|_{D_3}\)。可以定义 \[f(z)=\begin{cases}f_1(z),\quad z\in D_1\\ f_2(z),\quad z\in D_2\end{cases}\]
则 \(f_1(z)\) 和 \(f_2(z)\) 互为解析（直接）开拓。
例2，设
\[f_1(z)=1+z+z^2+\cdots+z^n+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}z^n,\qquad |z|<1\]
它的和函数为 \(\displaystyle\frac{1}{1-z}, \quad |z|<1\)。而
\[f_2(z)=\frac{1}{1-a}+\frac{z-a}{(1-a)^2}+\cdots+\frac{(z-a)^n}{(1-a)^{n+1}}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(z-a)^n}{(1-a)^{n+1}},\]
这里 \( |z-a|<|1-a|<2\)。\(f_2(z)\) 是 \(\displaystyle\frac{1}{1-z}\) 在 \(z=a\) 处的泰勒级数， \(f_1(z)\) 和 \(f_2(z)\) 在它们收敛圆相交的部分都等于 \(\displaystyle\frac{1}{1-z}\)，所以它们互为解析开拓。
4，如果 \(D_1\) 和 \(D_2\) 没有公共部分，我们可以通过解析开拓链的方式，将 \(f_1(z)\) 从 \(D_1\) 解析开拓到 \(D_2\)，在 \(D_2\) 上解析开拓的函数等于 \(f_2(z)\)，这时，我们称 \(f_1(z)\) 与 \(f_2(z)\) 互为间接解析开拓。