透弧解析开拓，就是关于某个曲线作解析开拓。我们首先叙述一个定理。
1，Paineve 定理：设 \(D_1, D_2\) 是两个区域，\(D_1\cap D_2=\varnothing, \partial D_1\cap \partial D_2=\Gamma\)，\(\Gamma\) 是简单曲线。若 \(f_1,f_2\) 分别在 \(D_1,D_2\) 上解析，在 \(D_1\cup \Gamma\) 上连续，\(f_1|_{\Gamma}=f_2|_{\Gamma}\)，则 \[f(z)=\begin{cases}f_1(z),\qquad & z\in D_1\\ f_2(z),& z\in D_2\\f_1(z)=f_2(z),& z\in \Gamma\end{cases}\] 在 \(D_1\cup D_2\cup \Gamma\) 上解析。
注：\(f_1(z)\) 和 \(f_2(z)\) 称为透弧（直接）解析开拓。
证明：只需要证明 \(f(z)\) 在 \(\Gamma\) 上解析。
设 \(z_0\in \Gamma\)，\(D(z_0,r)\) 是以 \(z_0\) 为中心，半径为 \(r\) 的圆盘，整个位于 \(D_1\cup D_2\cup \Gamma\) 内， \(\gamma\) 是 \(D(z_0, r)\) 内的一条简单闭曲线。考虑几种情况：
（i）\(\gamma\) 位于 \(D_1\) 内，则由柯西积分定理，\[\int_{\gamma}f(z)dz=0\]
（ii） \(\gamma\) 位于 \(D_2\) 内，同样由柯西积分定理，\[\int_{\gamma}f(z)dz=0\]
（iii）\(\gamma\) 部分位于 \(D_1\) 内，部分位于 \(D_2\) 内，那么 \(\gamma=\gamma_1+\gamma_2, \gamma_1\in D_1, \gamma_2\in D_2\)，则 \[\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{\gamma_1+\Gamma}f(z)dz+\int_{\gamma_2-\Gamma}f(z)dz=0+0=0\]
所以，无论何种情况，\[\int_{\gamma}f(z)dz=0\] 所以由 Morera 定理，\(f(z)\) 在 \(z_0\) 解析。因为 \(z_0\) 是任意的，所以 \(f(z)\) 在 \(\Gamma\) 上解析。证毕。
利用 Paneve 定理，我们首先证明对称原理的特殊形式。
2，对称原理（关于实轴的对称原理）：设区域 \(D\) 位于实轴的一侧，其边界含有实轴上的一段，记为 \(S\)，若 \(f(z)\) 在 \(D\) 上解析，在 \(S\) 上取实值。则一定存在一个函数 \(F(z)\)，在 \(D\cup D’\cup S\) 上解析。其中 \(D’\) 为 \(D\) 关于实轴对称 的区域，并且 \(F(z)|_D=f(z)\)。
证明：在 \(D\cup D’\cup S\) 上定义 \[F(z)=\begin{cases}f(z),\qquad & z\in D\\ \overline{f(\bar{z})},& z\in D’\end{cases}\]
那么 \(F(\bar{z})=\overline{F(z)}\)，这是因为若 \(z\in D\)，则 \(\bar{z}\in D’\)，由上面的定义，\[F(\bar{z})=\overline{f(\bar{\bar{z}}})=\overline{f(z)}\]
若 \(z\in D’\)，则 \(\bar{z}\in D\)，\[F({\bar{z}})=f({\bar{z}})=\overline{f(\bar{\bar{z}})}=\overline{f(z)}\]
接下来证明 \(F(z)\) 在 \(D\cup D’\cup S\) 上解析。
（1）在 \(D’\) 上， \(z_0\in D’\)， \(z\) 为 \(z_0\) 邻域内的一点，\[\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}=\frac{\overline{f(\bar{z})}-\overline{f(\bar{z}_0)}}{z-z_0}=\overline{\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{\bar{z}-\bar{z_0}}\right)}\]
所以\[\lim_{z\to z_0}\frac{F(z)-F(z_0)}{z-z_0}=\lim_{z\to z_0}\frac{\overline{f(\bar{z})}-\overline{f(\bar{z}_0)}}{z-z_0}=\overline{\left(\frac{f(z)-f(z_0)}{\bar{z}-\bar{z_0}}\right)}=\overline{f'(\bar{z_0})}\] 因此\(F(z)\) 在 \(D’\) 上解析。
（2）现在证明 \(F(z)\) 在 \(D’\cup S\) 上连续。 若 \(z_0\in S\)，则 \(z_0=x_0\)， \(\overline{f(x_0)}=f(x_0)\)。现假设 \(z\in D’\)，则
\[\lim_{{z\to z_0}\atop{z\in D’}}F(z)=\lim_{{z\to z_0}\atop{z\in D’}}\overline{f({\bar{z}})}=\overline{f(\bar{x_0})}=\overline{f(x_0)}=f(x_0)\] 所以 \(F(z)\) 在 \(S\) 上连续。
由 Paneve 定理，\(F(z)\) 在\(D\cup D’\cup S\) 上解析。证毕。
现在可以证明一般的对称原理。
3，对称原理（关于直线对称）：设区域 \(D\) 位于直线 \(L\) 的一侧，其边界包含 \(L\) 上的一段 \(S\)。若 \(F(z)\) 在 \(D\) 内解析，在 \(D\cup S\) 上连续，且 \(f(z)\) 在 \(S\) 上的值位于某个直线 \(l\) 上。则存在 \(F(z)\) 在 \(D\cup D’\cup S\) 上解析，\(F(z)|_D=f(z)\)。这里 \(D’\) 为 \(D\) 关于 \(L\) 对称的区域。
证明：作变换 \(z=az+b\) 将 \(L\) 变成实轴，\(w=cz+d\) 将 \(l\) 变成实轴，然后应用上述对称原理，最后换回 \(z,w\) 就可以了。
注：\(L\) 也可以是圆弧。