调和函数就是满足拉普拉斯方程的函数：\(\Delta u=0\)，在平面上，就是\[\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0\]
设函数 \(f(z)\) 在某个区域上解析，则由柯西-黎曼方程 \(u_x=v_y,u_y=-v_x\)，再求导，
\[u_{xx}=v_{yx}=v_{xy}=(v_x)_y=(-u_y)_y=-u_yy\]
所以 \[u_{xx}+u_{yy}=0\]
同理，我们可以得到 \(v_{xx}+v_{yy}=0\)，也就是说，解析函数的实部与虚部都是调和函数。我们称 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 互为共轭调和函数。也就是说，解析函数的实部与虚部为共轭调和函数。
所以我们有这样的定理。
定理：\(f(x)=u(x,y)+iv(x,y)\) 解析的充分必要条件是 \(u(x,y)\) 和 \(v(x,y)\) 互为共轭调和函数。
例1，求一个解析函数，其实部为 \(u(x,y)=x^3-3xy^2\)。
解：对 \(u(x,y)\) 求导得\[u_x=3x^2-3y^2,\quad u_{xx}=6x,\quad u_y=-6xy,\quad u_{yy}=-6x\]
所以 \(u_{xx}+u_{yy}=0\)，\(u(x,y)\) 是一个调和函数。由柯西-黎曼条件，
\[v_x=-u_y=6xy,\quad v_y=u_x=3x^2-3y^2\]
对第一个等式关于 \(x\) 求积分，\[v(x,y)=\int 6xydx=3x^2y+g(y)\] 然后关于 \(y\) 求导，\[v_y=3x^2+g'(y)\]代入柯西-黎曼方程的第二个方程，
\[v_y=3x^2+g'(y)=3x^2-2y^2\]所以 \[g'(y)=-3y^2,\quad g(y)=-y^3+C\]
所以 \(v=3x^2y-y^3+C\)。从而
\begin{align*}f(z)=u(x,y)+iv(x,y)&=x^3-3xy^2+i(3x^2y-y^3+C)\\&=x^3-3xy^2+i3x^2y-iy^3+C)\\&=x^3+3x(iy)^2+3x^2(iy)+(iy)^3+C\\&=(x+iy)^3+C=z^3+C\end{align*}