一个复数实际上是由一对实数所定义，而一对实数可以跟平面上的点作一一对应，从而我们可以将每一个复数在平面上表示，这样的平面就叫作复平面。
复平面如果采用极坐标，就可以将复数用极坐标表示。那么复数的模就这个复数所代表的向量的长度，辐角是这个复数代表的向量与极轴的夹角。
1，复数的平面表示：我们知道，每一个复数 \(z=x+iy\) 对应着一对实数 \((x,y)\)，所以一个复数可以用平面上的点 \((x,y)\) 来表示。第一个坐标称为实轴，第二个坐标称为虚轴。复数所在的平面称为复平面。
2，复数的极坐标表示：类似于二维平面，对于复数我们也可以引入极坐标。
\[z=x+iy=r(\cos\theta+i\sin\theta)\]
其中 \(r=\sqrt{x^2+y^2}\) 为点 \(z=x+iy\) 到原点的距离，\(\theta\) 为 \(z\) 与原点的连接的线段与正向实轴的夹角。
由极坐标与直角坐标之间的关系，我们有
\[\begin{cases}x=r\cos\theta\\ y=r\sin\theta\end{cases},\quad \begin{cases}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta=\begin{cases}\arctan\frac{y}{x},& y>0\\ \arctan\frac{y}{x}+\pi,& y<0\end{cases}\end{cases}\]
我们记 \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}=r\) 为复数 \(z\) 的模或者绝对值；\(\theta \) 称为复数 \(z\) 的辐角。辐角不唯一，因为 \(2\pi+\theta\) 仍然是 \(z\) 的辐角。
记一般的辐角为 \(\text{Arg} z\)，当 \(0\le\theta\le 2\pi\) 时，称为 \(z\) 的主辐角，记为 \(\text{arg}z\)，也就是说 \(\text{Arg}z=\text{arg}z+2n\pi\)。有时候也选择 \(-\pi\le \text{arg}z\le \pi\)。
3，复数的指数形式：由熟知的欧拉公式
\[e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\]
我们可以将复数写成指数形式：\(z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}\)。
例1：求 \(\text{Arg}(2-2i), \text{Arg}(-3+4i)\)。
解：（1）\(\tan\theta=\frac{-2}{2}=-1\)，因为 \(y<0\)，
\[\text{arg}(2-2i)=\arctan(-1)+\pi=\frac{3\pi}{4}+\pi=\frac{7\pi}{4}\]
\[\text{Arg}(2-2i)=\frac{7\pi}{4}+2n\pi, \quad n=0,\pm1,\pm 2,\cdots\]
我们也可以选择
\[\text{arg}(2-2i)=\arctan(-1)=-\frac{\pi}{4}, \] \[ \text{Arg}(2-2i)=-\frac{\pi}{4}+2n\pi, \quad n=0,\pm1,\pm 2,\cdots\]
（2）因为 \(\tan\theta=-\frac{4}{3}\)，\(y>0\)，所以
\[\text{arg}(-3+4i)=\arctan(-\frac{4}{3})+\pi\]
\[\text{Arg}(-3+4i)=\arctan(-\frac{4}{3})+(2n+1)\pi, \quad n=0,\pm1,\pm 2,\cdots\]
例2：已各流体在某点的速度为 \(v=-1-i\)，求它的大小和方向。
解：\(|v|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}\)，\(y<0\)，它的方向为
\[\text{arg}(-1-i)=\arctan\frac{-1}{-1}+\pi=\arctan1+\pi=\frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}\]