区域就是连通的开集。区域分为有界区域和无界区域，有界区域就是它的整体可以包含在一个半径为有限的圆中。复平面上的曲线一般是用参数方程的方式给出。我们通常考虑得比较多的是简单曲线和简单闭曲线。简单曲线是分段光滑的曲线且自身不相交，而简单闭曲线就是起点和终点在同一点上的简单曲线。
1，区域：连通的开集称为区域。
所谓连通的集合，就是集合里面任何两点都可以用完全位于集合里的折线连接起来。
例如：\(D=\{z| |z|<1\}\) 是一个区域，它是一个开圆；
\(D=\{z| \text{Re}z>0\}\) 是一个区域，它是右半平面；
\(D=\{z | \text{Im}z<0\}\) 也是一个区域，它是下半平面。
2，曲线：（1）可以用参数方程表示复平面上的曲线，\(\gamma(t): x=x(t),y=y(t), \alpha\le t\le \beta\)，其中 \(x(t),y(t)\) 都是区间 \([a,b]\) 上的连续曲线。
（2）参数方程表示的曲线也可以写成 \(z(t)=x(t)+iy(t), \alpha\le t\le \beta\)。
（3）若 \(x(t),y(t)\) 都连续可导，我们称 \(\gamma(t)\) 是光滑曲线。
（4）若 \(\gamma(\alpha)=\gamma(\beta)\)，也就是曲线的起点与终点在同一点，这时候 \(\gamma(t)\) 就是一条闭曲线。
例如，\(\gamma(t): x=\cos t, y=\sin t, 0\le t\le 2\pi\)，这是一个闭曲线，它是一个单位圆。
（5）简单曲线：无重点的曲线，或者自身不相交的曲线，称为简单曲线。
（6）简单闭曲线：自身不相交的简单曲线称为简单闭曲线，也称为约当（Jordan）曲线。
3，约当（Jordan）定理：简单闭曲线将平面分成两个部分（两个区域），一个是曲线的内部，它是有界的，另一个是曲线的外部，它是无界的。
这个证明需要较多的拓扑学知识，我们略过。
4，单连通区域：区域内任何一条简单闭曲线的内部都属于该区域，这样的区域称为单连通区域。
拓扑学上的定义是：任何一条简单闭曲线可以在区域内连续地收缩成一点。
当然，这两个定义是等价的。