每一个复数不光可以用平面上的点表示，还可以与单位球面上的点作一一对应，这种对应关系就是复数的球面表示。这样的球面叫做复球面。所有的平面上的复数加上一个数无穷大 \(\infty\) 组成了扩充复平面。
笔记下载：复球面与扩充复平面
1，复球面：我们用这样的方式将单位球面 \(x^2+y^2+u^2=1\) 上的点与复数对应起来：将单位球面上的北极点 \((0,0,1)\) 与球面上一点 \((x,y,u)\) 连接成一条直线，这条直线与复平面的交点为 \((x’,y’)\)，则复数 \(z=x’+iy’\) 就与球面上的点 \((x,y,u)\) 成了一一对应。
我们称 \((x,y,u)\) 为复数 \(z=x’+iy’\) 的球面表示。这个单位球面我们称之为复球面，或者黎曼球面。
用相似三角形的关系式，
\[\frac{x’}{x}=\frac{y’}{y}=\frac{r}{\rho}=\frac{1}{1-u}\]
我们可以得到这个一一对应的具体表达式为
\[x’=\frac{x}{1-u}, y’=\frac{y}{1-u}\]
所以 \[z=x’+iy’=\frac{x}{1-u}+\frac{y}{1-u}i=\frac{x+iy}{1-u}\]
2，无穷大：我们将球面的北极 \((0,0,1)\) 对应于无穷远点 \(\infty\)，这个点也称为无穷大，或者简称为无穷。
3，扩充复平面：我们将复平面加上无穷大，就称为扩充复平面。也就是
\[\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\cup \infty\]
4，球极射影是一一对应的，因为
\[z\bar{z}=\frac{x+iy}{1-u}\cdot\frac{x-iy}{1-u}=\frac{x^2+y^2}{(1-u)^2}=\frac{1-u^2}{(1-u)^2}\frac{1+u}{1-u}\ne 0\]
5，注意，扩充复平面的无穷大无正、负之分。但是约定 \(|\infty|=+\infty\)。
6，无穷大的运算：
（1）\(a+\infty=\infty\);
（2）\(a-\infty=\infty-a=\infty\):
（3）\(a\cdot\infty=\infty\cdot a=\infty,\quad a\ne 0\)；
（4）\(\frac{a}{\infty}=0, \frac{\infty}{a}=\infty, \quad a\ne \infty\)；
（5）\(\frac{a}{0}=\infty\)。