我们现在来看一阶线性非齐次微分方程的解
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=f(x)\]
我们用常数变易法来求解这样的方程。常数变易法的方法是，就是将对应齐次微分方程的通解里的任意常数换成一个未知函数，然后代入到微分方程里去，求出这个未知函数，从而得到原方程的解的方法。
这个方法可以应用于线性的非齐次微分方程，我们这一节只将它应用于一阶线性微分方程，高阶的线性微分方程的思想是一样的，但是会需要应用一些技术上的方法。
上面这个微分方程所对应的齐次微分方程是
\[\frac{dy}{dx}+p(x)y=0\]
应用分离变量法，我们知道它的解是
\[y=Ce^{-\int p(x)dx}\]
应用常数变易法，我们将上面的任意常数 \(C\) 用一个未知函数 \(u(x)\) 代替，也就是说
\[y=u(x)e^{-\int p(x)dx}\]
是非齐次方程的解。我们将它代入到前面的非齐次方程里去，
\begin{align*}y’&=u'(x)e^{-\int p(x)dx}-u(x)p(x)e^{-\int p(x)dx}\\ &=u'(x)e^{-\int p(x)dx}-p(x)y\end{align*}
从而
\begin{align*}\frac{dy}{dx}+p(x)y&=u'(x)e^{-\int p(x)dx}-p(x)y+p(x)y\\ &=u'(x)e^{-\int p(x)dx}=f(x)\end{align*}
所以可以得到
\[u'(x)=f(x)e^{\int p(x)dx}\]
两边积分，可以得到
\[u(x)=\int f(x)e^{\int p(x)dx}+C\]
所以原方程的解为
\[y=e^{-\int p(x)dx}\left(\int f(x)e^{\int p(x)dx}+C\right)\]
我们来看几个例题。
例1，求解微分方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}-\frac{2y}{x+1}=(x+1)^{\frac{5}{2}}\)。
解：这里
\[p(x)=-\frac{2}{x+1}, f(x)=(x+1)^{\frac{5}{2}}\]
由前面我们推导出的公式，我们有
\begin{align*}y&=e^{-\int p(x)dx}\left(\int f(x)e^{\int p(x)dx}+C\right)\\ &=e^{\int \frac{2}{x+1}dx}\left(\int (x+1)^{\frac{5}{2}}e^{-\int \frac{2}{x+1}dx}+C\right)\\ &=e^{2\ln|x+1|}\left(\int(x+1)^{\frac{5}{2}}e^{-2\ln|x+1|}\right)\\ &=(x+1)^2\left(\int(x+1)^{\frac{1}{2}}dx+C\right)\\ &=(x+1)^2\left(\frac{2}{3}(x+1)^{\frac{3}{2}}+C\right)\end{align*}
这就是微分方程的解。
例2，求方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{y}{2x-y^2}\) 的通解。
解：这个方程粗一看，它不是线性方程。但是我们将它变形，将分子分母换个位置，
\[\frac{dx}{dy}=\frac{2x-y^2}{y}=\frac{2}{y}x-y\]
也就是
\[\frac{dx}{dy}-\frac{2}{y}x=-y\]
然后将 \(x\) 看成 \(y\) 的函数，将 \(y\) 看成自变量，这个方程就是一阶线性微分方程了。
注意，在微分方程里，\(x\) 和 \(y\) 是对等的，即任意一个可以是另外一个的函数。
现在我们用之前的公式来解这个方程。
\begin{align*}x&=e^{-\int p(y)dy}\left(\int f(y)e^{\int p(y)dy}+C\right)\\ &=e^{\int \frac{2}{y}dy}\left(\int -ye^{-\int \frac{2}{y}dy}+C\right)\\ &=e^{2\ln|y|}\left(\int-ye^{-2\ln|y|}dy+C\right)\\ &=y^2\left(\int-y\frac{1}{y^2}dy+C\right)\\ &=y^2\left(\int-\frac{1}{y}dy+C\right)\\ &=y^2\left(-\ln|y|+C\right)\end{align*}
所以方程的解是
\[x=y^2(-\ln|y|+C)\]