这一节我们说明如何利用积分因子法求解一阶线性微分方程，并如何寻找积分因子。
考虑一阶线性微分方程
\[y’+p(x)y=f(x)\]
我们的思想是，如果能将方程两边乘以一个函数，使得方程左边是某一个函数的导数，那么方程两边再积分，就得到了方程的解。那我们来看如何找到这个函数，这个函数就叫做方程的积分因子。
我们将方程两边乘以一个函数 \(u(x)\),
\[u(x)y’+u(x)p(x)y=u(x)f(x)\]
如果方程左边是某一个函数的导数，那么它必然是 \(u(x)y\) 的导数，因为第一项就是这个函数的导数的一部分，
\[(u(x)y)’=u(x)f(x)\]
左边为
\[u(x)y’+u'(x)y=u(x)f(x)\]
比较这两个方程，就得到 \[u'(x)=u(x)p(x)\]
分离变量，再积分
\[\frac{u'(x)}{u(x)}=p(x),\quad \ln|u(x)|=\int p(x)dx+C,\quad u(x)=Ce^{\int p(x)dx}\]
因为我们只需要找到这样的“一个”函数，不是找通解，所以只需要取没有任意常数的一个解就行了，我们可以取 \(u(x)=e^{\int p(x)dx}\)，这就是这个方程的积分因子。
将原方程两边乘以积分因子 \(u(x)=e^{\int p(x)dx}\)，方程变为
\[e^{\int p(x)dx}y’+e^{\int p(x)dx}p(x)y=e^{\int p(x)dx}f(x)\]
方程左边可以写成
\[\left(e^{\int p(x)dx}y\right)’=e^{\int p(x)dx}f(x)\]
两边积分就得到
\[e^{\int p(x)dx}y=\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx+C\]
再在方程两边乘以 \(e^{-\int p(x)dx}\)，就得到了方程的解的表达式
\[y=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx+C\right)\]
我们来看例题。
例1，解微分方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x^3\)。
解：我们可以使用上面的公式
\begin{align*}y&=e^{-\int p(x)dx}\left(\int e^{\int p(x)dx}f(x)dx+C\right)\\ &=y=e^{-\int \frac{1}{x}dx}\left(\int e^{\int \frac{1}{x}dx}x^3dx+C\right)\\ &=e^{-\ln|x|}\left(\int x^3e^{\ln|x|}dx+C\right)\\ &=\frac{1}{|x|}\left(\int x^3|x|dx+C\right)\\ &=\frac{1}{x}\left(\int x^4dx+C\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{5}x^5+C\right)\end{align*}
所以
\[y=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{5}x^5+C\right)\]
这就是微分方程的解。上面去括号，是因为括号外面和括号里面都有一个绝对值，我们可以把两个绝对值都去掉。
实际上，有时候利用公式，反而不如直接找积分因子来得简单。我们来看，直接找积分因子来解方程的方法。
例2，解方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}+y\tan x=\sin 2x\)。
解：我们有
\[p(x)=\tan x, f(x)=\sin 2x=2\sin x\cos x\]
积分因子为
\[u(x)=e^{\int p(x)dx}=e^{\int \tan xdx}=e^{-\ln|\cos x|}=\frac{1}{|\cos x|}=|\sec x|\]
我们可以只取 \(u(x)=\sec x\)。方程两边乘以 \(\sec x\)，我们得到
\[\sec x y’+y\tan x\sec x=2\sin x\cos x\sec x=2\sin x\]
左边等于 \((\sec xy)’\)，所以方程变为
\[(\sec xy)’=2\sin x\]
两边积分，得到
\[\sec xy=-2\cos x +C\]
两边再乘以 \(\cos x\)，就得到了方程的解
\[y=-2\cos^2x+C\cos x\]