除了前面我们讲过的两种微分方程，可以用初等变换来求，还有其它的一些微分方程也可以用初等变换的方式，将方程化成可以求解的形式。 我们来看两个例子。
1，微分方程 \(\displaystyle \frac{dy}{dx}=f(Ax+By+C)\)。这种形式的微分方程，只需要做变换 \(u=Ax+By+C\)，就可以将方程化成可分离变量的微分方程。
例1，解方程 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=(-5x+y)^2-4\)。
解：令 \(u=-5x+y\)，则 \(\displaystyle\frac{du}{dx}=-5+\frac{dy}{dx},\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{du}{dx}+5\)，代入方程，我们得到
\[\frac{du}{dx}+5=u^2-4\]也就是
\[\frac{du}{dx}=u^2-9\]分离变量，得到
\[\frac{du}{u^2-9}=dx\]
两边积分，注意到 \(\displaystyle \frac{1}{u^2-9}=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{u-3}-\frac{1}{u+3}\right)\)，
\begin{align*}x+C&=\int\frac{du}{u^2-9}=\frac{1}{6}\int\left(\frac{1}{u-3}-\frac{1}{u+3}\right)du\\ &=\frac{1}{6}(\ln|u-3|-\ln|u+3|)=\frac{1}{6}\ln\left|\frac{u-3}{u+3}\right|\end{align*}
两边乘以 \(6\)，
\[6x+C=\ln\left|\frac{u-3}{u+3}\right|\]再取 \(e\) 底，
\[\frac{u-3}{u+3}=Ce^{6x}\] 再将 \(u\) 代回，得到
\[\frac{-5x+y-3}{-5x+y+3}=Ce^{6x}\] 这就是方程的解。
也可以将 \(y\) 解出，得到
\[y=5x+3\cdot\frac{1+Ce^{6x}}{1-Ce^{6x}}\]
2，Gompertz 方程： \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=ry\ln\left(\frac{K}{y}\right)\)，\(K,r\) 是常数。
我们做代换 \(u=\ln\left(\frac{y}{K}\right)\)，则 \[\frac{du}{dx}=\frac{K}{y}\cdot \frac{1}{K}\frac{dy}{dx},\quad \frac{dy}{dx}=y\frac{du}{dx}\]
代入方程，注意到 \(\ln\left(\frac{K}{y}\right)=-ln\left(\frac{y}{K}\right)\)，得到
\[y\frac{du}{dx}=ry(-u)\]利用分离变量法，求得它的解为
\[\ln|u|=-rx+C\]
\[u=Ce^{-rx}\]
回到原来变量\[\ln\left(\frac{y}{K}\right)=Ce^{-rx}\]
再取 \(e\) 底，\[\frac{y}{K}=e^{Ce^{-rx}}\]
所以，方程的解为
\[y=Ke^{Ce^{-rx}}\]