变量分离的微分方程是最简单的微分方程之一，\(y’=f(x)g(y)\)，简单的变形之后，两个变量可以分离，在方程的两边，然后直接积分就得到了方程的解。
1，变量分离的微分方程：形如
\[\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\]
的方程称做变量分离的微分方程，我们只需要在两边乘以 \(dx\)，再除以 \(g(y)\)，就得到了
\[\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\]
左边就只有 \(y\)，右边就只有 \(x\)，两个变量完全分开了，所以称之为变量分离的微分方程。
之后，只需要两边积分，就可以得到方程的解了。
\[\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx\]
例1，解方程 \(\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y^2}\)。
解：将方程变形，两边乘以 \(y^2dx\)，得到
\[\frac{dy}{dx}=\frac{x^2}{y^2}\Longrightarrow y^2dy=x^2dx\]
两边积分
\[\int y^2dy=\int x^2dx\Longrightarrow \frac{1}{3}y^3=\frac{1}{3}x^3+C\]
这里我们将任意常数放在右边（左边的任意常数可以与右边的任意常数合并），这就是方程的解。将两边乘以 \(3\)，再移项，可以写成更简洁的形式
\[y^3-x^3=C\]
例2，解方程 \(\displaystyle y’=x^2y\)。
解：我们将方程写成
\[y’=\frac{dy}{dx}=x^2y\]
变形，两边乘以 \(dx\)，再除以 \(y\) 可以得到
\[\frac{dy}{y}=x^2dx\]
再积分
\[\int\frac{dy}{y}=\int x^2dx\Longrightarrow \ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C\]
两边取 \(e\) 底，
\[e^{\ln|y|}=e^{\frac{1}{3}x^3+C}\Longrightarrow |y|=e^Ce^{\frac{1}{3}x^3}\]
因为 \(e^C\) 仍然是一个任意常数，我们仍然可以用 \(C\) 来表示它。如果还允许它为负数（从而 \(y\) 可以为负数），那么上面的解可以写成
\[y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}\]
这就是方程的通解。
例3，解初值问题
\[\begin{cases}\frac{dy}{dx}=y^2\cos x\\ y(0)=1\end{cases}\]
解：方程变形为
\[\frac{dy}{dx}=y^2\cos x\Longrightarrow \frac{dy}{y^2}=\cos xdx\]
两边积分
\[\int\frac{dy}{y^2}=\int\cos xdx\Longrightarrow -\frac{1}{y}=\sin x+c\]
代入初值， \(x=0, y=1\)，
\[-1=\sin 0+C\Longrightarrow C=-1\]
所以 \[ -\frac{1}{y}=\sin x-1\]
两边取倒数，再乘以 \(-1\)，得到
\[y=\frac{1}{1-\sin x}\]
这就是初值问题的解。
我们再来看最后一个例子，这个例子以后要用到。
例4，解方程 \(y’=p(x)y\)。
解：分离变量，再积分
\[\frac{dy}{dx}=p(x)y\Longrightarrow \frac{dy}{y}=p(x)dx\]
\[ \int\frac{dy}{y}=\int p(x)dx\Longrightarrow \ln|y|=\int p(x)dx+C\]
类似例 2，两边取 \(e\) 底，得到
\[y=Ce^{\int p(x)dx}\]
这就是方程的通解。