考虑对称形式的微分方程 \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\)，如果有一个函数 \(F(x,y)\)，它的全微分为 \(M(x,y)dx+N(x,y)dy\)，我们就称微分方程 \(M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\) 为恰当方程，或者全微分方程。它的解很简单，就是 \(F(x,y)=C\)。
那么，我们怎么判断一个对称形式的微分方程是不是一个恰当方程呢？
1，恰当方程的条件：根据恰当方程的定义，我们知道 \(M(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}, N(x,y)=\frac{\partial F}{\partial y}\)。再由混合偏导数相等的条件，我们有如下的定理，
定理：设 \(M,N\) 在区域 \(D\) 内有一阶连续偏导数，且 \(\displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}\)，则方程
\[M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\]
在 \(D\) 上是恰当方程。
这是因为 \( \frac{\partial F}{\partial x}=M, \frac{\partial F}{\partial y}=N\)，那么 \(\frac{\partial M}{\partial y}= \frac{\partial N}{\partial x}\) 意味着 \(\frac{\partial^2F}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2F}{\partial x\partial y}\)。详细证明我们略去。
2，恰当方程的求解：我们先将 \(M(x,y)\) 对 \(x\) 求积分，求出含有任意函数的 \(F\)，然后对 \(F\) 关于 \(y\) 求导，比较导数与 \(N(x,y)\)，再求出 \(F\) 中的任意常数。
我们来看例题。
例1，解方程 \(2xy^3dx+3x^2y^2dy\)。
解：因为 \(M(x,y)=2xy^3, N(x,y)=3x^2y^2\)，
\[\frac{\partial M}{\partial y}=6xy^2, \frac{\partial N}{\partial x}=6xy^2\]
我们得到 \(\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}\)，微分方程是恰当方程。我们有
\[\frac{\partial F}{\partial x}=M(x,y)\Longrightarrow F=\int M(x,y)dx=\int2xy^3dx=x^2y^3+g(y)\]
再由
\[\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)\Longrightarrow 3x^2y^2+g'(y)=3x^2y^2\]
我们得到 \(g'(y)=0\)，也就是 \(g(y)=C\)，所以方程的解为
\[F(x,y)=C\Longrightarrow x^2y^3=C\]
例2，解微分方程 \((2x\sin y+3x^2y)dx+(x^2+x^2\cos y+y^2)dy\)。
解：我们有
\[M(x,y)=2x\sin y+3x^2y, \frac{\partial M}{\partial y}=2x\cos y+3x^2\]
\[N(x,y)=x^2+x^2\cos y+y^2, \frac{\partial N}{\partial x}=2x\cos y+3x^2\]
所以微分方程是恰当方程，我们设 \(dF=Mdx+Ndy\)，
\[F(x,y)=\int M(x,y)dx=\int(2x\sin y+3x^2y)dx=x^2\sin y+x^3y+g(y)\]
又由
\[\frac{\partial F}{\partial y}=N(x,y)\]
我们得到
\[x^2\cos y+x^3+g'(y)=x^3+x^2\cos y+y^2\]
所以 \(g'(y)=x^2\)，所以，只要取 \(g(y)=\frac{1}{3}y^3\)，我们就得到了
\[F(x,y)=x^2\sin y+x^3y+\frac{1}{3}y^3\]
所以方程的解为
\[x^2\sin y+x^3y+\frac{1}{3}y^3=C\]