这一节我们介绍微分方程的一些基本概念，包括什么是微分方程，微分方程的阶，线性与非线性微分方程，通解与特解等概念。
1，微分方程：含有未知函数的导数的方程称做微分方程。
常微分方程：只有一个自变量的微分方程称为常微分方程。
偏微分方程：未知函数有多个自变量的微分方程，称为偏微分方程。事实上，偏微分方程里有未知函数的偏导数，所以称为偏微分方程。
例如
\[y’+2xy=\sin x\] 是常微分方程，而 \[\frac{\partial u}{\partial t}=c^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\] 是偏微分方程。
偏微分方程也经常使用下标形式的偏导数符号，例如上面这个方程也可以写成
\[u_t=c^2u_{xx}\]
这里 \(c\) 是一个常数。
2，微分方程的阶：在方程里出现的未知函数的最高阶导数的阶，称为微分方程的阶。例如\[y^{\prime\prime}+y=0\]
就是二阶微分方程，\[y^{(4)}-(y^{\prime\prime})^5-8y=0\] 是四阶微分方程。
3，线性与非线性微分方程。
线性微分方程：方程中出现的未知函数与它的各阶导数的系数都只与自变量有关，而且未知函数与它的各阶导数只有一次项，称这样的微分方程为线性微分方程。
不是线性的微分方程称为非线性微分方程。
例如 \[y^{\prime\prime}+p(x)y’+q(x)y=f(x)\] 是线性微分方程，而
\[y^{\prime\prime}+(y’)^2=0,\quad y’+e^y=f(x)，\quad y’+p(x)\sqrt{y}=q(x)\] 都是非线性方程。
4，微分方程的解：如果将函数 \(y=\phi(x)\) 代入到微分方程里去，微分方程成立，就称函数 \(y=\phi(x)\) 是微分方程的一个解。
例如， \(y=\sin x\) 是微分方程 \(y^{\prime\prime}+y=0\) 的解。因为 \(y’=\cos x, y^{\prime\prime}=-\sin x\)，所以 \[y^{\prime\prime}+y=-\sin x+\sin x=0\]
所以 \(y=\sin x\) 是微分方程 \(y^{\prime\prime}+y=0\) 的解。同样，可以验证 \(y=\cos x \) 也是微分方程的解。
5，通解与特解：
通解：如果一个 \(n\) 阶微分方程的解里有 \(n\) 个任意常数，则称这个解为微分方程的通解。当然，需要注意，这些任意常数都应该是相互独立的，也就是说，不能将一个任意常数融入到另一个任意常数里去。任意常数的个数与微分方程的阶相同。
例如 \(y=C_1\cos x+C_2\sin x\) 就是 \(y^{\prime\prime}+y=0\) 的通解。
通解是满足微分方程所有解的集合。
特解：不含任意常数的解，称为特解。例如 \(y=\sin x, y=\cos x\) 都是方程 \(y^{\prime\prime}+y=0\) 的特解。
6，定解条件：特定的问题中，需要找出满足特定条件的微分方程的解，从而确定通解中的任意常数。这种条件就称为定解条件。
常见的定解条件有初值条件与边界条件。给定函数及其一些导数在一些某个特定点处的值，称为初值条件。给定函数在某个区间端点处的值，称为边界条件。
7，初值问题：一个微分方程连同它的初值条件，称之为初值问题。
例如，
\begin{cases}y^{\prime\prime}+y=0\\ y(0)=0, y'(0)=5\end{cases}
就是一个初值问题。我们已经知道它的通解为 \(y=C_1\cos x+C_2\sin x\)。将初值条件代入，
\[y(0)=0 \Rightarrow C_1=0,\quad y'(0)=5\Rightarrow C_2=5\]
所以初值问题的解为 \(y=5\sin x\)。