我们这里简单介绍一下微分方程的模型。一个是人口增长的数学模型，一个是弹簧的位移模型。
1，人口增长模型：
根据人口增长理论，人中的增长率与现有人口成比例。如果我们设现有人口为 \(P\)，那么人口增长率就是 \(\frac{dP}{dt}\)，因为人口增长率就是人口的变化率，我们知道，函数的变化率就是函数的导数。那么，根据这个模型，我们得到了微分方程
\[\frac{}dP{dt}=kP\]
这里，\(k\) 就是那个比例，它是一个常数。
2，弹簧的位移：
如果我们将一个质量为 \(m\) 的物体挂在弹簧的一端，使得弹簧从它的平衡位置拉长 \(x\) 单位，（正数为拉长，负数为压缩），那么根据胡克定律，弹力的大小与位移长度成比例，
\[\vec{F}=-kx\]
这里选取负号，是因为弹力的方向与拉伸的方向相反。这里我们假设没有其它的外力，并且略去一些影响比较小的力，如空气阻力等等。
又根据牛顿第二定律，施加与物体的力等于物体的质量乘以加速度，
\[\vec{F}=m\alpha\]
因为加速度是位移函数的二阶导数，\(\alpha=x^{\prime\prime}\)所以我们得到了弹簧位移的微分方程
\[mx^{\prime\prime}=-kx\]
或者
\[mx^{\prime\prime}+kx=0\]