用伴随矩阵求矩阵的逆矩阵，是另一种求逆矩阵的方法。这种方法，在理论应用中比较多。在求具体的矩阵的逆矩阵中，初等变换法更常用。
我们先证明逆矩阵的唯一性。
1，定理：若 \(A\) 可逆，则其逆矩阵是唯一的。
证明：设 \(B\) 和 \(C\) 都是 \(A\) 的逆矩阵，则 \[B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C\] 所以 \(B=C\)。
2，伴随矩阵：我们定义矩阵 \(A\) 的伴随矩阵为 \[A^*=\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&\cdots& A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}\] 其中 \(A_{ij}\) \(|A|\) 关于 \(a_{ij}\) 的代数余子式。
这里要注意到的是，伴随矩阵的下标，是行列互换的。第 \(i\) 行的代数余子式在伴随矩阵的第 \(i\) 列。
我们在讲行列式的时候，曾经证明过这样的定理：
3，定理：\(|A|\) 的一行乘以另一行的代数余子式之和为 \(0\)，即若 \(i\ne j \)，则 \[a_{i1}A_{j1}+a_{i2}A_{j2}+\cdots+a_{in}A_{jn}=0\]
下面我们给出用伴随矩阵求逆矩阵的方法。
4，定理：矩阵 \(A\) 可逆的充分必要条件是 \(|A|\ne 0\)，且 \(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)。
证明：“\(\Longrightarrow\)” 若 \(A\) 可逆，\(AB=I\)，则 \[|AB|=I,\quad\Rightarrow\quad |A||B|=1\quad \Rightarrow \quad |A|\ne 0\]
“\(\Longleftarrow\)” 我们有
\[AA^*=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&&\vdots\\ a_{n1}&\cdots&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_{11}&\cdots& A_{n1}\\ \vdots&&\vdots\\ A_{1n}&\cdots&A_{nn}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}|A|&0&\cdots&0\\ 0&|A|&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&|A|\end{pmatrix}=|A|I\]
这里我们应用了上一个定理，行列式的一行乘以另一行的代数余子式之和为 \(0\)。
所以我们得到了等式 \(AA^*=|A|I\)，从而 \(A\cdot \frac{1}{|A|}A^*=I\)，也就是说 \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\]
我们举一个例子，用伴随矩阵来求逆矩阵。事实上这种方法的计算量很大，阶数越高越明显。
例1：设 \(A=\begin{pmatrix}2&3&4\\ 2&1&1\\ -1&1&2\end{pmatrix}\)，求 \(A^{-1}\)。
解：我们先求行列式
\[|A|=\begin{vmatrix}2&3&4\\ 2&1&1\\ -1&1&2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}0&5&8\\ 0&3&5\\ -1&1&2\end{vmatrix}=(-1)(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}5&8\\ 3&5\end{vmatrix}=-1\]
所以矩阵可逆。现在我们来求伴随矩阵。
\[A_{11}=\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1,\quad A_{12}=(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&1\\ -1&2\end{vmatrix}=-5,\quad A_{13}=\begin{vmatrix}2&1\\-1&1\end{vmatrix}=3\]
\[A_{21}=(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}3&4\\1&2\end{vmatrix}=-2,\quad A_{22}=\begin{vmatrix}2&4\\ -1&2\end{vmatrix}=8,\quad A_{23}=(-1)^{2+3}=\begin{vmatrix}2&2\\-1&1\end{vmatrix}=-5\]
\[A_{31}=\begin{vmatrix}3&4\\1&1\end{vmatrix}=-1,\quad A_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}2&4\\ 2&1\end{vmatrix}=6,\quad A_{33}=\begin{vmatrix}2&3\\2&1\end{vmatrix}=-4\]
所以 \[A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=-1\begin{pmatrix}1&-2&-1\\ -5&8&6\\ 3&-5&-4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2&1\\ 5&-8&-6\\ -3&5&4\end{pmatrix}\]
我们看到，这个结果跟上次课程里的结果是一样的。