伯努利方程

伯努利方程是一阶非线性方程，但是通过适当的变换，可以将它化成一阶线性方程，然后就可以通过解一阶线性方程的方法来求得它的解。

伯努利方程的形式为 $$y^{\prime }+p(x)y=q(x)y^n$$

两边除以 $y^n$，则方程变形为 $$y_{-n}+p(x)y^{1-n}=q(x)$$

做变换 $z=y^{1-n}$，则 $\frac{dz}{dx}=(1-n)y_{-n}\frac{dy}{dx}$，将微分方程两边乘以 $1-n$，就得到

$$\frac{dz}{dx}+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)$$

由一阶线性微分方程的解的表达式，我们有

$$z=e^{-\int (1-n)p(x)dx}(\int e^{-\int (1-n)p(x)dx}(1-n)q(x)dx+C)$$

两边再开 $n-1$ 次方，就得到了方程的解。

例1：解方程 $y^{\prime }-2xy=2x^3{y}^2$。

解：方程可变形为 $$y^{-2}{y}^{\prime }-2x{y}^{-1}=2x^3$$

做变换 $z=y^{-1}$，则 ${\displaystyle \frac{dz}{dx}=-y^{-2}{y}^{\prime }}$，所以

$$\frac{dz}{dx}+2xz=-2x^3$$

由一阶线性微分方程的解，

$$\begin{array}{rl}z& =e^{-\int 2xdx}(\int e^{\int 2xdx}(-2x^3)dx+C)\\ & =e^{-x^2}(\int e^{x^2}(-2x^3)dx+C)\end{array}$$

在积分里令 $u=x^2$，则

$$\int e^{x^2}(-2x^3)dx=-\int u{e}^{u}du=-(u{e}^u-e^u)+C=e^{x^2}-x^2{e}^{x^2}+C$$

所以

$$\begin{array}{rl}z& =e^{-x^2}(\int e^{x^2}(-2x^3)dx+C)\\ & =e^{-x^2}(e^{x^2}-x^2{e}^{x^2}+C)\\ & =1-x^2+C{e}^{x^2}\end{array}$$

所以 $z=1-x^2+C{e}^{x^2}$，从而方程的通解为

$$y=z^{-1}=\frac{1}{1-x^2+C{e}^{x^2}}$$

例2：解方程 $\frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=a\ln x{y}^2$。

解：方程变形为

$$y^{-2}\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}{y}^{-1}=a\ln x$$

令 $z=y^{-1}$，则

$$\frac{dz}{dx}-\frac{1}{x}z=-a\ln x$$

所以

$$\begin{array}{rl}z& =e^{\int \frac{1}{x}dx}(\int e^{-\int \frac{1}{x}dx}(-a\ln x)dx+C)\\ & =x(-a\int \frac{1}{x}\ln xdx+C)\\ & =x(-\frac{a}{2}{\ln }^{2}x+C)\\ & =-\frac{a}{2}x{\ln }^{2}x+Cx\end{array}$$

所以 $$y=\frac{1}{-\frac{a}{2}x{\ln }^{2}x+Cx}$$