向量的叉积

向量的叉积也称为向量的向量积、外积，它的结果是一个向量，所以我们需要规定它的大小和方向。两向量的叉积 $\vec{a} \times \vec{b}$ 定义为

长度为 $| \vec{a} \times \vec{b} | = | \vec{a} | | \vec{b} | \sin θ$ ;
方向为： $\vec{a} \times \vec{b} ⊥ \vec{a}, \vec{a} \times \vec{b} ⊥ \vec{b},$ 且 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{a} \times \vec{b}$ 成右手系。

对于叉积来说，最重要的结果是：

定理1：两向量平行的充分必要条件是两向量的叉积为 $0$ 。即 $\vec{a} ∥ \vec{b} ⟺ \vec{a} \times \vec{b} = 0$

从定义可以得到，如果两个非零向量的叉积为零，只能是 $θ = 0$ 或者 $θ = π$ 。零向量的方向是任意的，所以如果其中一个向量为零向量的话，它与所有向量都平行。

坐标系下的叉积：如果在坐标系下 $\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}), \vec{b} = (b_{1}, b_{2}, b_{3})$ ，则它们的叉积定义为 $\vec{a} \times \vec{b} = | \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \end{matrix} |$

二、三阶行列式的定义：

二阶行列式 $| \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} | = a d - b c$

三阶行列式 $| \begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} | = a_{11} | \begin{matrix} a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} | - a_{12} | \begin{matrix} a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} | + a_{13} | \begin{matrix} a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} |$

叉积的运算法则：

$\vec{a} \times \vec{b} = - \vec{b} \times \vec{a}$ ;
$(λ \vec{a}) \times \vec{b} = λ (\vec{a} \times \vec{b})$ ;
$(\vec{a} + \vec{b}) \times \vec{c} = \vec{a} \times \vec{c} + \vec{b} \times \vec{c}$ 。

我们来看几个叉积的例子。

例1：设 $\vec{a} = (2, 1, - 1), \vec{b} = (1, - 1, 2)$ ，求 $\vec{a} \times \vec{b}$ 。

解：由叉积在坐标下的定义，我们有

$\begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} = & | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & - 1 \\ 1 & - 1 & 2 \end{array} | \\ = \vec{i} | \begin{array}{c} 1 & - 1 \\ - 1 & 2 \end{array} | - \vec{j} | \begin{array}{c} 2 & - 1 \\ 1 & 2 \end{array} | + \vec{k} | \begin{array}{c} 2 & 1 \\ 1 & - 1 \end{array} | \\ = \vec{i} - 5 \vec{j} - 3 \vec{k} \\ = (1, - 5, - 3) \end{aligned}$

例2：求一个向量，垂直于过三点 $P = (1, 4, 6), Q = (- 2, 5, - 1), R = (1, - 1, 1)$ 的平面。

解：因为这个向量垂直于平面，那么平面上所有的向量都与我们要求的向量垂直。但是我们有平面上的三个点，这三个点可以组成两个向量

$\vec{P Q} = (- 3, 1, - 7), \vec{P R} = (0, - 5, 2)$ 而两个向量的叉积同时垂直于这两个向量，所以我们有

$\begin{aligned} \vec{P Q} \times \vec{P R} & = | \begin{array}{c} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ - 3 & 1 & - 7 \\ 0 & - 5 & 2 \end{array} | \\ = - 40 \vec{i} - 15 \vec{j} + 15 \vec{k} \\ = (- 40, - 15, 15) \end{aligned}$ 所以向量 $(- 40, - 15, 15)$ 就是我们要求的。