初等矩阵与初等变换

1，初等矩阵：对单位矩阵做一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。所以有三种初等矩阵：

• 初等倍乘阵: 将单位矩阵的第 $i$ 行（或者 $i$ 列）乘以常数 $c$ $$I_i(c)=\left(\begin{array}{cccccc}1& & & & & \\ & 1& & & & \\ & & \ddots & & & \\ & & & c& & \\ & & & & \ddots & \\ & & & & & 1\end{array}\right)$$
• 初等对换阵: 将单位矩阵的第 $i$ 行与第 $j$ 行交换（或者交换$i$ 列与 $j$ 列） $$I_{ij}=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 0& \cdots & 1& & & \\ & & ⋮& & ⋮& & \\ & & 1& \cdots & 0& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1\end{array}\right)$$
• 初等倍加阵：将单位矩阵的第 $i$ 行加上 $j$ 行的 $j$ 倍， $$I_{ij}(k)=\left(\begin{array}{ccccccc}1& & & & & & \\ & \ddots & & & & & \\ & & 1& \cdots & k& & \\ & & ⋮& & ⋮& & \\ & & 0& \cdots & 1& & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & & 1\end{array}\right)$$

初等矩阵都是可逆的，这就是

2，定理：初等矩阵都是可逆的，并且 $$I_i^{-1}(c)=I_i(\frac{1}{c}),I_{ij}^{-1}=I_{ij},I_{ij}^{-1}(k)=I_{ij}(-k)$$

我们可以直接验证这个定理。

初等矩阵的意义在于它与初等变换等价。我们有这样的

3，定理：

• 左乘一个初等矩阵，相当于对矩阵做一次相应的初等行变换；
• 右乘一个初等矩阵，相当于对矩阵做一次相应的初等列变换。

直接计算就可以证明这个定理。