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视频课程
这里是每门课程的视频讲解。课程的内容大致上以国内高校教材内容为基本内容,参照国内外教材进行删减和补充进行讲解。
高等数学(上)
极限与连续
极限的直观定义
单侧极限
极限的四则运算与初等方法
无穷小与无穷大
函数在无穷远处的极限
数列的极限
夹挤原理与两个重要极限(一)
单调有界定理与两个重要极限(二)
极限的严格定义
函数的连续性与间断点
连续函数的运算与性质
导数与求导法则
导数的定义
基本初等函数的导数
导数的四则运算
复合函数的导数(链式法则)
隐函数求导法
反函数的求导法则
对数求导法
参数方程所确定的函数的导数
函数的高阶导数
相关变化率
函数的近似值与微分
导数的应用
费马引理
微分中值定理
洛必达法则
利用洛必达法则求其它未定式极限
函数的增减与极值
函数的凹凸性与拐点
极值存在的第二条件
函数的渐近线
函数图形的描绘
最大最小值问题与最优化问题
泰勒公式的证明
泰勒公式的求法泰勒公式的应用
不定积分
不定积分的定义与性质
分部积分法
第一类换元法
第二类换元法之三角代换
第二类换元法之其它方法
有理函数的积分
可化为有理函数的积分
三角函数的积分
定积分
定积分的概念
定积分的性质
变上限积分及其导数(微积分基本定理I)
微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)
定积分的换元法
利用对称性计算定积分
无穷区间上的反常积分
无界函数的反常积分
定积分的应用
直角坐标下平面图形的面积
极坐标下平面图形的面积
切片法求旋转体的体积
圆桶法求旋转体的体积
旋转轴为其它直线时的旋转体的体积
平行截面为已知的立体的体积
平面曲线的弧长
变力沿直线所做的功
微分方程
微分方程的基本概念
可分离变量的微分方程
齐次方程
一阶线性微分方程
伯努利方程
可降阶的高阶微分方程
线性微分方程解的结构
非齐次线性微分方程的常数变易法
常系数齐次微分方程
常系数非齐次线性微分方程(一)
常系数非齐次线性微分方程(二)
高等数学(下)
向量代数与空间解析几何
向量及其线性运算
空间直角坐标系
向量的投影、方向角与方向余弦
向量的内积
向量的叉积
向量的混合积
空间直线的方程
空间平面的方程
点到直线和点到平面的距离
直线之间以及平面之间的距离
柱面及旋转面的方程
常见二次曲面
空间曲线的参数方程
空间曲线与曲面的投影
多元函数微分法及其应用
多元函数的定义、极限与连续性
偏导数
高阶偏导数
全微分与函数的近似值
多元复合函数的求导法则
多元隐函数的偏导数
方向导数与梯度
曲面的切平面与法线
多元函数的极值
拉格朗日条件极值
重积分及其应用
二重积分的定义与性质
直角坐标下二重积分的计算
交换积分次序
极坐标下二重积分的计算
三重积分的定义与计算
柱坐标下三重积分的计算
球坐标下三重积分的计算
曲面的面积
质量和质心
曲线积分与曲面积分
对弧长的曲线积分
对坐标的曲线积分的定义
对坐标的曲线积分的计算
格林公式
应用格林公式求曲线积分
曲线积分基本定理与全微分求积
利用格林公式求平面区域的面积
曲线积分与路径无关的条件
对面积的曲面积分
曲面的定向
对坐标的曲面积分的定义
对坐标的曲面积分的计算
梯度、旋度与散度
高斯公式(散度定理)
斯托克斯(Stokes)公式
应用斯托克斯求空间曲线积分
无穷级数
无穷级数的概念
级数发散的充分条件与收敛级数的性质
正项级数的积分判别法
正项级数的比较判别法
比较判别法的极限形式
正项级数的比值判别法
正项级数的根值判别法
交错级数的判别法
绝对收敛与条件收敛
函数项级数与幂级数
幂级数的收敛半径与收敛域
函数的幂级数展开
泰勒级数与麦克劳林级数
间接展开法求泰勒级数与麦克劳林级数
三角级数与三角函数系的正交性
函数展开成傅里叶级数
傅里叶正弦级数与余弦级数
奇延拓,偶延拓与傅里叶级数
一般周期的傅里叶级数
线性代数
行列式
行列式的递归法定义(行列式展开法)
行列式的性质及其计算
行列式计算方法举例
行列式的逆序法定义
线性方程组
线性方程组与矩阵
矩阵初等变换的方法与步骤
齐次线性方程组
非齐次线性方程组
矩阵
矩阵的运算
方阵及其行列式
逆矩阵的定义与性质
初等矩阵与初等变换
用初等变换求逆矩阵
用伴随矩阵求逆矩阵
矩阵可逆的条件
分块矩阵及其运算
分块初等阵与分块矩阵的初等变换
向量组的线性相关性
向量组的线性组合
线性相关与线性无关
向量组的秩与极大无关组
线性方程组解的结构
特征值与特征向量
特征值与特征向量的定义与计算
特征值与特征向量的性质
相似矩阵与矩阵的对角化
向量的内积、长度与正交性
施密特正交化方法
正交矩阵与正交变换
实对称矩阵的特征值与特征向量
实对称矩阵的对角化
二次型
二次型的定义及其矩阵表示
用正交变换法将二次型化为标准形
用配方法化二次型为标准形
惯性定理与正定二次型
线性空间与线性变换
\(\mathbb{R}^n\) 上的线性变换
\(\mathbb{R}^n\) 上线性变换的矩阵
\(\mathbb{R}^n\) 的线性子空间
线性子空间的基、零空间与列空间
一般的线性空间
线性空间的性质、线性子空间
线性空间的基、维数与坐标
基变换与坐标变换
一般线性空间上的线性变换
概率统计
古典概率
随机试验与随机事件
概率的公理化定义
古典概率(等可能概型)
条件概率和乘法公式
全概率公式
贝叶斯公式(逆概率公式)
随机事件的独立性
随机变量及其分布
随机变量的定义
离散型随机变量
两点分布和二项式分布
泊松分布
几何分布与负二项式分布
随机变量的分布函数
连续型随机变量及其概率密度
均匀分布与指数分布
正态分布
离散型随机变量函数的分布
连续型随机变量函数的分布
多维随机变量
二维随机变量
二维连续型随机变量
离散型随机变量的边缘分布
连续型随机变量的边缘分布
条件分布
相互独立的随机变量
二维随机变量函数的分布:和的分布
二维随机变量函数的分布:商的分布
二维随机变量函数的分布:最大值、最小值的分布
随机变量的数字特征
随机变量的数学期望
常见离散型随机变量的数学期望
常见连续型随机变量的数学期望
随机变量函数的数学期望
二维随机变量的数学期望
数学期望的性质
方差的定义与计算
方差的性质
切比雪夫不等式
二维随机变量的协方差
相关系数
矩与协方差矩阵
概率论的极限理论
大数定律
中心极限定理
中心极限定理举例
统计的基本概念
总体与样本
样本数据的整理与显示
常用统计量
三大抽样分布
正态总体的抽样分布
参数估计
参数估计:矩估计法
最大似然估计法
最大似然估计法举例
估计量的评选标准
区间估计的概念和方法
单个正态总体均值的区间估计
单个正态总体方差的区间估计
两个正态总体均值差的区间估计
两个正态总体方差比的区间估计
单侧置信区间
假设检验
假设检验的概念与方法
正态总体均值的假设检验
正态总体方差的假设检验
复变函数
复变函数简介
复数的运算
复数及其代数运算
复平面,复数的模与辐角
复数的幂与方根
复球面与扩充复平面
复平面上的点集
复平面上的区域和曲线
解析函数
复变函数及其极限与连续
复变函数的导数
函数解析的条件,柯西-黎曼方程
指数函数与三角函数
对数函数
复数域上的幂函数
反三角函数
复变函数的积分
复变函数的积分
柯西积分定理(柯西-古萨定理)
柯西-古萨定理的证明(一)
柯西-古萨定理的证明(二)
复连通区域上的柯西积分定理
积分与路径无关的条件,原函数
柯西积分公式
解析函数的高阶导数
柯西不等式与刘维尔定理
莫勒拉(Morera)定理
复级数
复数列与复级数
绝对收敛与条件收敛
复变函数的泰勒级数
一些初等函数的泰勒级数
罗朗(Laurent)级数
罗朗(Laurent)级数的证明
复幂级数的性质与收敛半径
一致收敛的级数
幂级数的逐项求导与求积分
罗朗级数的例子
解析函数零点的孤立性与解析函数的唯一性
最大模原理
孤立奇点
孤立奇点的类型
可去奇点的特征
极点与本性奇点的特征
毕卡大定理
函数在无穷远处的性质
整函数与亚纯函数
留数定理及其应用
留数定理
留数的计算
无穷远处的留数
利用留数定理计算定积分(一):三角有理函数的积分
利用留数定理计算定积分(二):无穷区间上有理函数的积分
利用留数定理计算定积分(三):有理函数与三角函数之积
利用留数定理计算定积分(四):积分路径上有奇点的情形
零点的个数(辐角原理)
儒歇(Rouche)定理
保形映射
保形映射,解析函数的保域性
解析函数的保形性
一些初等函数构成的保形映射
分式线性函数及其保圆性
分式线性函数的保形性与保交比性
分式线性函数的保对称点性
几个特殊的分式线性函数
分式线性函数举例
保形变换综合举例
黎曼映射定理与边界对应原理
多边形映射与 Schwarz-Christoffel 公式
多边形映射与 Schwarz-Christoffel 公式举例
解析开拓
解析开拓的概念与例
解析开拓的幂级数方法
透弧解析开拓,对称原理
调和函数
调和函数与共轭调和函数
调和函数的平均值定理与极值原理
调和函数的积分表示,泊松(Poison)积分公式
圆内狄利克雷(Dirichlet)问题的解
圆内狄利克雷(Dirichlet)问题举例
上半平面狄利克雷(Dirichlet)问题的解
数学物理方程
数学物理方程的导出
数学物理方程简介
热传导方程的推导
振动弦、振动膜与波动方程
稳定态、极小曲面与拉普拉斯方程
薛定谔方程的推导
纳维-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的推导
定解条件的相容性条件
一维热传导方程的初边值问题(分离变量法)
分离变量法(第一边值)
第一边值问题求解举例
热传导方程的第二边值问题
齐次方程,与时间无关的非齐次边界条件的分离变量法
非齐次方程,非齐次项与时间无关的方程的分离变量法
非齐次方程,与时间有关的非齐次项的热传导方程的分离变量法
齐次方程,非齐次边界条件与时间有关的分离变量法
非齐次方程,非齐次边界条件的分离变量法