求多元函数极值，我们先求出它们的临界点，然后通过二阶导数来判断极值的类型。
1，极值：在 \((x_0,y_0)\) 某个领域内，若
- \(f(x,y)\le f(x_0,y_0)\)，我们称 \(f(x_0,y_0)\) 为极大值；
- \(f(x,y)\ge f(x_0,y_0)\)，我们称 \(f(x_0,y_0)\) 为极小值；
对于多元函数的极值，我们有如下的必要条件：
2，定理：若 \(f(x_0,y_0)\) 是 \(f(x,y)\) 的极值，且 \(f_x,f_y\) 在 \((x_0,y_0)\) 处连续，则 \(f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)=0\)。
这个定理可以直接由一元函数的费马引理得到。因为固定 \(y=y_0\)，函数就变成了一元函数，直接利用费马定理就行了。
我们称 \(f_x=0,f_y=0\) 的点或者不存在的点为临界点。
3，定理（多元函数极值的充分条件）：若 \(f_x(x_0,y_0)=0, f_y(x_0,y_0)=0\) 且 \(f(x,y)\) 的所有二阶偏导数连续，若在 \((x_0,y_0)\) 处
- \(f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}>0\)，且 \(f_{xx}<0\)，则 \(f(x_0,y_0)\) 为极大值；
- \(f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}>0\)，且 \(f_{xx}>0\)，则 \(f(x_0,y_0)\) 为极小值；
- \(f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}<0\)，则 \(f(x_0,y_0)\) 不是极值（这时候我们称它们为鞍点）；
- \(f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}=0\)，则不知道 \(f(x_0,y_0)\) 是不是极值，需要用别的方法来判定。
我们不去证明这个定理。我们来看一下这个定理的应用。
例1：求 \(f(x,y)=x^4+y^4-4xy+1\) 的极值。
解：\(f_x=4x^3-4y, f_y=4y^3-4x\)，令它们等于 \(0\)，我们得到 \(x^3=y, y^3=x\)，从而得到临界点为 \((0,0), (1,1),(-1,-1)\)。
再来求二阶导数。\(f_{xx}=12x, f_{yy}=12y,f_{xy}=-4\)。代入这三个点的值，我们有
\[f_{xx}(0,0)=0, f_{yy}(0,0)=0, f_{xy}(0,0)=-4,\quad \Longrightarrow \quad f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}\le 0\]所以 \((0,0)\) 不是极值点。
\[f_{xx}(1,1)=12, f_{yy}(1,1)=12, f_{xy}(0,0)=-4\]
\[ f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}=144-16=128\ge 0\]因为 \(f_{xx}=12>0\), 所以 \(f(1,1)=-1\) 是极小值。
\[f_{xx}(-1,-1)=-12, f_{yy}(-1,-1)=-12, f_{xy}(0,0)=-4,\]
\[ f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}=144-16=128\ge 0\] 因为 \(f_{xx}=-12<0\), 所以 \(f(1,1)=-1\) 是极大值。
例2：设 \(f(x,y)=e^{4y-x^2-y^2}\)，求 \(f(x,y)\) 的极值。
解： \(f_x=-2xe^{4y-x^2-y^2}, f_y=(4-2y)e^{4y-x^2-y^2}\)，令它们等于 \(0\)，我们得到一个临界点 \((0,2)\)。再来求二阶导数
\[f_{xx}=-2e^{4y-x^2-y^2}+4x^2e^{4y-x^2-y^2},\quad f_{yy}=-2e^{4y-x^2-y^2}+(4-2y)^2e^{4y-x^2-y^2},\]
\[f_{xy}=-2x(4-2y)e^{4y-x^2-y^2}\]在点 \(0,2\) 处
\[f_{xx}(0,2)=-2e^4<0, f_{yy}(0,2)-2e^4, f_{xy}(0,2)=0, \quad \Longrightarrow \quad f_{xx}f_{yy}-f^2_{xy}>0\]所以 \(f(0,2)=e^4\) 是极大值。