我们知道，对于函数 \(z=f(x,y)\) 来说，它的偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\) 还是 \((x,y)\) 的二元函数，所以它们本身也可以求偏导数。偏导数再求导就是函数的二阶偏导数。对于阶偏导数再求导就是三阶偏导数，依此类推。
对于二元函数来说，一阶偏导数有两个，它们又都是二元函数。所以，一般来说，二元函数的二阶偏导数有四个：
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xx}=f_{11}\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)=f_{xy}=f_{12}\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{yx}=f_{21}\]
\[\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=f_{yy}=f_{22}\]
最后两个等式，是二阶偏导数的其它两种常见的记号。这里需要注意的是，写成下标形式，左边的下标是先求导，右边的下标是后求导。而写成分式形式的二阶偏导数，分母左边的是后求导，右边是先求导。
两个二阶偏导数 \(\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x},\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\) 称为混合二阶偏导数。
二阶偏导数或者高阶偏导数没有什么特别的求法，就是先求出一阶偏导数，再对一阶偏导数求偏导就行了。我们只看一个例子。
例1：设 \(f(x,y)=x\cos y+ye^x\)，求它所有的二阶偏导数。
解：我们先求出一阶偏导数。
\[\frac{partial f}{\partial x}=\cos y+ye^x,\quad \frac{partial f}{\partial y}=-x\sin y+e^x\]
再来求二阶偏导数
\[\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=ye^x, \quad \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=-\sin y+e^x\]
\[\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=-\sin y+e^x, \quad \frac{\partial^2f}{\partial y^2}=-x\cos y\]
上面这个例子，我们看到了两个混合偏导数是一样的。这不是偶然出现的情况，实际上，我们有下述的定理：
定理：若 \(f_x,f_y,f_{xy},f_{yx}\) 在某区域上连续，那么在该区域上 \(f_{xy}=f_{yx}\)。
这个定理我们这里就不证明了。
例如， \(f(x,y)=xy+\frac{e^y}{1+y^2}\) 在整个平面上连续，可导，偏导数都连续，二阶偏导数也连续，所以二阶混合偏导数是相等的。