在求解偏微分方程的时候，我们经常需要将 \([0,\pi]\) 上的函数展开成傅里叶级数。这时候，我们就需要对函数进行延拓。
1，周期延拓：我们先考虑周期延拓，若 \(f(x)\) 为定义在 \([-\pi,\pi]\) 上，则定义
\[\begin{cases}F(x)=f(x),\quad & x\in [-\pi,\pi]\\ F(x+2\pi)=F(x)&\end{cases}\]
这样定义的函数 \(F(x)\) 就是周期为 \(2\pi\) 的周期函数。
2，奇延拓：若函数 \(f(x)\) 定义在 \((0,\pi]\) 上，定义
\[F(x)=\begin{cases}f(x),\quad &x\in(0,\pi]\\ 0, &x=0\\ -f(-x), & x\in (-\pi, 0)\end{cases}\]
然后再令 \(F(x+2\pi)=F(x)\)，这样的话，\(F(x)\) 就是一个周期为 \(2\pi\) 的奇函数。它的傅里叶级数就是一个正弦级数。
由前一节傅里叶级数的收敛定理，这个正弦级数在 \((0,\pi]\) 上收敛到 \(f(x)=F(x), x\in (0,\pi]\)。也就是说，\(f(x)\) 在 \((0,\pi]\) 上可以展开成正弦级数。
同理，我们可以将 \(f(x)\) 延拓成偶函数，那么它也可以展开成余弦级数。
3，偶延拓：若函数 \(f(x)\) 定义在 \((0,\pi]\) 上，定义
\[F(x)=\begin{cases}f(x),\quad &x\in(0,\pi]\\ f(-x), & x\in (-\pi, 0)\end{cases}\]
然后再令 \(F(x+2\pi)=F(x)\)，这样的话，\(F(x)\) 就是一个周期为 \(2\pi\) 的偶函数。它的傅里叶级数就是一个余弦级数。这个正弦级数在 \((0,\pi]\) 上收敛到 \(f(x)\)。也就是说，\(f(x)\) 在 \((0,\pi]\) 上可以展开成余弦级数。
例1：将函数 \[f(x)=\begin{cases}\cos x, \quad & x\in [0,\frac{\pi}{2})\\ 0,& x\in [\frac{\pi}{2}, \pi]\end{cases}\]
分别展开成正弦级数与余弦级数。
解：（1）将函数作奇延拓，\[\begin{align*}F(x)&=\begin{cases}f(x),\quad &x\in(0,\pi]\\ 0, &x=0\\ -f(-x), & x\in (-\pi, 0)\end{cases}\\ &=\begin{cases}0,&x\in (-\pi,-\frac{\pi}{2}]\\ -\cos x, \quad & x\in (-\frac{\pi}{2},0)\\0,&x=0\\ \cos x, \quad & x\in (0,\frac{\pi}{2})\\ 0,& x\in [\frac{\pi}{2}, \pi]\end{cases}\end{align*}\]
则
\[\begin{align*}b_n&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}F(x)\sin nxdx\\ &=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\sin nxdx\\ &=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}\left(\sin(n+1)x+\sin(n-1)x\right)dx\\ &=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{1}{n+1}\cos(n+1)x-\frac{1}{n-1}\cos(n-1)x\right)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{1}{n+1}\cos\frac{(n+1)\pi}{2}-\frac{1}{n-1}\cos\frac{(n-1)\pi}{2}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}\right)\\ &=\frac{2}{\pi}\left(-\frac{1}{n+1}\sin\frac{n\pi}{2}-\frac{1}{n-1}\sin\frac{n\pi}{2}+\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n-1}\right)\\ &=\frac{2}{\pi(n^2-1)}\left(n-\sin\frac{n\pi}{2}\right)\end{align*}\]
\(n=1\) 时，上面的计算不成立，我们需要另外计算
\[\begin{align*}b_1&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi}f(x)\sin xdx\\&=\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos x\sin xdx\\ &=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1}{2} \sin^2x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{\pi}\end{align*}\]
所以 \(f(x)\) 的正弦级数展开为
\[f(x)=\frac{1}{\pi}\sin x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2}{\pi(n^2-1)}\left(n-\sin\frac{n\pi}{2}\right)\sin nx\]
（2）将 \(f(x)\) 作偶延拓，
\[\begin{align*}F(x)&=\begin{cases}f(x),\quad & x\in(0,\pi],\\ f(-x), & x\in (-\pi, 0)\end{cases}\\ &=\begin{cases}0,& x\in[-\pi,-\frac{\pi}{2}]\\ \cos x,& \in [-\frac{\pi}{2},0)\\ \cos x, \quad & x\in [0,\frac{\pi}{2})\\ 0,& x\in [\frac{\pi}{2}, \pi]\end{cases}\end{align*}\]
则
\[\begin{align*}a_0&=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}F(x)dx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos xdx=\frac{2}{\pi}\sin x\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=\frac{2}{\pi}\end{align*}\]
\[\begin{align*}a_n&=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}F(x)\cos nxdx=\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\cos nxdx\\ &=\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{1}{2}(\cos(n+1)x+\cos(n-1)x)dx\\ &=\frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{n+1}\sin (n+1)x+\frac{1}{n-1}\sin(n-1)x\right)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{1}{\pi}\left(\frac{1}{n+1}\sin \frac{(n+1)\pi}{2}+\frac{1}{n-1}\sin\frac{(n-1)\pi}{2}\right)\\ &=\frac{1}{\pi}\left(-\frac{1}{n+1}\cos \frac{n\pi}{2}+\frac{1}{n-1}\cos\frac{n\pi}{2}\right)\end{align*}\]
当 \(n=1\) 时，
\[\begin{align*}a_1&=\frac{2}{\pi}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\cos xdx\\ &=\frac{2}{\pi}\frac{1+\cos 2x}{2}dx\\ &=\frac{1}{\pi}\left(x+\frac{1}{2}\sin 2x\right)\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}\\ &=\frac{1}{2}\end{align*}\]
所以
\[f(x)=\frac{1}{\pi}+\frac{1}{2}\cos x+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\pi}\left(-\frac{1}{n+1}\cos \frac{n\pi}{2}+\frac{1}{n-1}\cos\frac{n\pi}{2}\right)\cos nx\]