比较判别法：\(\displaystyle \sum a_n, a_n\ge0\)，正项级数
1，定理1：单调有界数列必有极限
2，定理2：正项级数收敛的充分必要条件是 \(\displaystyle s_n\) 有上界
证明：\(\displaystyle s_n\)单调递增，有下界 \(\displaystyle a_1\)
所以，若 \(\displaystyle s_n\) 有上界\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad s_n\) 单调递增有界 \(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad s_n\) 有极限
3，定理3（比较判别法）：
若 \(\displaystyle a_n\) 和 \(\displaystyle b_n\) 均 \(\displaystyle \ge 0\)，且 \(\displaystyle a_n<b_n\quad\left(n=1,\ 2,\ \cdots\right)\)
（1）大收则小收：若 \(\displaystyle\sum b_n\) 收敛\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad\sum a_n\) 收敛
（2）小散则大散：若 \(\displaystyle\sum a_n\) 发散\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad\sum b_n\) 发散
证明：
（1）\(\displaystyle t_n=\sum_{k=1}^n b_k\)，\(\displaystyle t=\sum_{n=1}^\infty b_n\)，\(\displaystyle s_n=\sum_{k=1}^n a_n\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad t_n\le t\)，而 \(\displaystyle s_n\le t_n\quad\Rightarrow\quad s_n \le t\quad\Rightarrow\quad s_n\) 有上界\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad\sum a_n\) 收敛
（2）\(\displaystyle\sum a_n\) 发散\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad s_n\rightarrow+\infty\quad\Rightarrow\quad t_n\rightarrow+\infty\) （因为：\(\displaystyle t_n\ge s_n\)）
4，常用的比较级数
（1）几何级数
\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} ar^n\)：\(\displaystyle\quad \begin{cases}\text{发散，}\quad &|r|\ge 1\\ \text{收敛，}\quad &|r|< 1\end{cases}\)
（2）\(\displaystyle p-\)级数
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}\)：\(\displaystyle\quad \begin{cases} p>1\quad &\text{收敛}\\ p\le 1\quad &\text{发散}\end{cases}\)
5，方法：将级数放缩，变成\(\displaystyle p-\)级数或者几何级数
（要证明发散，缩小发散级数；要证明收敛，放大成一个收敛级数）
例1，判定级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2+5n+1}\) 是否收敛？
解答：\(\displaystyle \frac{1}{2n^2+5n+1}<\frac{1}{2n^2}\)
因为 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2}=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\) 收敛
\(\displaystyle\Rightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2n^2+5n+1}\) 收敛
例2，判定级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}\) 是否收敛？
解答：\(\displaystyle \frac{\ln n}{n}>\frac{1}{n}\qquad n\ge 3\)
因为 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\) 发散，所以\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln n}{n}\) 发散
例3，判定级数\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n+1}\) 是否收敛？
解答：\(\displaystyle \frac{1}{2^n+1} < \frac{1}{2^n}=\left(\frac{1}{2}\right)^n\)
因为 \(\displaystyle \sum\left(\frac{1}{2}\right)^n\) 收敛，所以 \(\displaystyle \sum\frac{1}{2^n+1}\) 收敛
注：预估收敛还是发散，要观察主要部分。