如果两个级数的一般项之比的极限是一个不为 0 的有限数，那么这两个级数的收敛性是一样的。这就是比较判别法的极限形式。 这个判别法可以让我们将注意力放到级数的主要部分上。只要主要部分是收敛的，那么级数本身是收敛的。
1，定理（比较判别法的极限形式）：
设 \(\displaystyle\sum a_n\)，\(\displaystyle\sum b_n\) 都是正项级数
若 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n}=l\)
\(\displaystyle\begin{cases} (1)\ 0<l<+\infty &\Rightarrow\quad\sum a_n\text{与}\sum b_n\text{同敛散}\\ (2)\ l=0 &\Rightarrow\quad\text{若}\sum b_n\text{收敛，则}\sum a_n\text{收敛}\\ (3)\ l=+\infty &\Rightarrow\quad\text{若}\sum b_n\text{发散，则}\sum a_n\text{发散}\end{cases}\)
证明：
（1）存在\(\displaystyle N>0\)，使得当 \(\displaystyle n>N\) 时，\(\displaystyle |\frac{a_n}{b_n}-l|<\epsilon\) 时任何 \(\displaystyle \epsilon>0\) 成立
取 \(\displaystyle \epsilon=\frac{l}{2}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad|\frac{a_n}{b_n}-l|<\frac{l}{2}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad \frac{1}{2}l<\frac{a_n}{b_n}<\frac{3}{2}l\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad\frac{1}{2}lb_n<a_n<\frac{3}{2}lb_n\)
由级数的性质，\(\displaystyle\quad\Rightarrow\quad\sum b_n\) 收敛，则 \(\displaystyle\frac{1}{2}lb_n\)，\(\displaystyle\frac{3}{2}lb_n\) 收敛
\(\displaystyle\qquad\qquad\qquad\quad\ \Rightarrow\quad\sum b_n\) 发散，则 \(\displaystyle\frac{1}{2}lb_n\)，\(\displaystyle\frac{3}{2}lb_n\) 发散
\(\displaystyle\Rightarrow\quad\) 由比较判别法，\(\displaystyle a_n\) 与 \(\displaystyle b_n\) 同敛散
（2）\(\displaystyle \sum b_n\) 收敛，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=0\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad a_n<b_n\quad (n>N)\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad\) 比较判别法， \(\displaystyle\sum a_n\) 收敛
（3）\(\displaystyle \sum b_n\) 发散，\(\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=+\infty\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad a_n>b_n\quad (n>N)\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad\) 比较判别法， \(\displaystyle\sum a_n\) 发散
2，如何应用？找级数的主要部分
例1，判别级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^2-5n-1}\) 的敛散性。
解答：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{1}{2n^2-5n-1}}{\frac{1}{2n^2}}\)
\(\displaystyle\quad\ =\lim_{n\to\infty} \frac{2n^2}{2n^2-5n-1}\)
\(\displaystyle\quad\ =\lim_{n\to\infty} \frac{2}{2-\frac{5}{n}-\frac{1}{n^2}}\)
\(\displaystyle\quad\ =1\)
所以，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n^2-5n-1}\) 收敛
例2，判别级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^7}}\) 的敛散性。
解答：级数主要部分，分子是 \(\displaystyle 2n^2\)，分子是 \(\displaystyle \sqrt n^7=n^{\frac{7}{2}}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad \frac{2n^2}{n^{\frac{7}{2}}}=2\cdot \frac{1}{n^\frac{3}{2}}\)， 所以
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^7}}}{\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}}\)
\(\displaystyle\quad\ =\lim_{n\to\infty} \frac{2n^{\frac{7}{2}}+3n^{\frac{5}{2}}}{\sqrt{5+n^7}}\)
\(\displaystyle\quad\ =\lim_{n\to\infty} \frac{2+3\cdot\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{5}{n^7}+1}}\)
\(\displaystyle\quad\ =2\)
因为 \(\displaystyle\sum \frac{1}{n^\frac{3}{4}}\) 收敛，
所以，由比较判别法的极限形式，得 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n^2+3n}{\sqrt{5+n^7}}\) 收敛
例3，判别级数 \(\displaystyle\sum \frac{3n^3-2n^2}{n^4+n^2+1}\) 的敛散性。
解答：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\frac{3n^3-2n^2}{n^4+n^2+1}}{\frac{1}{n}}\)
\(\displaystyle\quad\ =\lim_{n\to\infty} \frac{3n^4-2n^3}{n^4+n^2+1}=3\)
因为 \(\displaystyle \sum \frac{1}{n}\) 发散，
所以，由比较判别法的极限形式，得 \(\displaystyle\sum \frac{3n^3-2n^2}{n^4+n^2+1}\) 发散。
3，适用范围：\(\displaystyle n\) 的代数式