我们知道，平面区域的面积可以用二重积分来求 \(\displaystyle A=\iint_D1\cdot dA\)。格林公式告诉我们闭曲线上的积分可以用二重积分来计算，反之亦然。所以我们也可以用区域边界上的曲线积分来计算区域的面积。
1，平面区域的面积：由格林公式 \[A=\iint_DdA=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy=\int_LPdx+Qdy\]
这里 \(L\) 是区域 \(D\) 的边界曲线。所以只要 \(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1\)， 我们就可以用曲线积分来计算区域的面积。我们可以有不同的选择：
（1）\(P=0, Q=x\)，则 \(\displaystyle A=\int_Lxdy\)；
（2）\(P=-y, Q=0\)，则 \(\displaystyle A=\int_L-ydx\)；
（3）\(P=-\frac{1}{2}y, Q=\frac{1}{2}x\)，则 \(\displaystyle A=\frac{1}{2}\int_L-ydx+xdy\)。
这几个选择都可以用来计算平面区域的面积。我们用三种方法来计算同一个区域的面积。
例1，计算 \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) 所围成的区域的面积。
解：因为这是一个椭圆，我们在中学就知道它的面积。我们现在用曲线积分来证明这个面积公式。
椭圆的参数方程为 \(x=a\cos t, y=b\sin t, 0\le t\le 2\pi\)。正向为 \(t\) 从 \(0\) 到 \(2\pi\)。
（1）我们取 \(P=0, Q=x\)，则
\[\begin{align*}A&=\int_Lxdy=\int_0^{2\pi}a\cos t b\cos tdt=ab\int_0^{2\pi}\cos^2tdt\\ &=ab\int_0^{2\pi}\frac{1+2\cos2t}{2}dt=ab\left(\frac{t}{2}+\frac{1}{4}\sin 2t\right)\Big|_0^{2\pi}\\ &=\pi ab\end{align*}\]
（2）我们取 \(P=-y, Q=0\)，则
\[\begin{align*}A&=\int_L-ydx=\int_0^{2\pi}-b\sin t a(-\sin t)dt=ab\int_0^{2\pi}\sin^2tdt\\ &=ab\int_0^{2\pi}\frac{1-2\cos2t}{2}dt=ab\left(\frac{t}{2}-\frac{1}{4}\sin 2t\right)\Big|_0^{2\pi}\\ &=\pi ab\end{align*}\]
（3）最后我们取 \(P=-\frac{1}{2}y, Q=\frac{1}{2}x\)，则
\[\begin{align*}A&=\frac{1}{2}\int_L-ydx+xdy\\ &=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi}(-b\sin t a(-\sin t)+a\cos t b\cos t)dt\\&=\frac{1}{2}ab\int_0^{2\pi}(\sin^2t+\cos^2t)dt=\frac{1}{2}ab\int_0^{2\pi}dt=\frac{1}{2}abt\Big|_0^{2\pi}\\ &=\pi ab\end{align*}\]
我们看到，这三种选择都可以得到我们想要的结果。可以根据我们的需要，选择合适的函数来计算。当然，除了这三种选择以外，还有很多其它的选择，我们不一一举例了。