我们之前学过的对弧长的曲线积分是没有方向的，而对坐标的曲线积分是有方向的。对坐标的曲线积分也称为对向量的曲线积分，是因为它的形式就是向量在曲线上的积分。我们从变力沿曲线做功导出对坐标的曲线积分的定义。
1，变力沿曲线做功：
（1）常力沿直线做功：假设常力 \(\vec{F}\)将物体从点 \(A\) 沿直线移动到 \(B\) 点，
则 \(\vec{F}\) 所做功的公式为 \[w=|\vec{F}||\vec{AB}|\cos\theta=\vec{F}\cdot \vec{AB}\]
（2）变力沿曲线做功：设变力 \(\vec{F}(x,y)=(P(x,y), Q(x,y))\) 沿曲线 \(C\) 将物体从 \(A\) 点处移动到 \(B\)，那么如何求\(\vec{F}(x,y)\) 所做的功？
我们将曲线划分很小的一段段，每一小段上，曲线可以用一段直线近似；当曲线段很短时，变力可以用常力近似。在 \(M_{i-1}\) 与 \(M_i\) 之间，任取一点 \(x_i^*,y_i^*\)，以 \(\vec{F}(x_i^*,y_i^*)\) 作为这一段曲线内的力的近似值，用直线 \(\overline{M_{i-1}M_i}\) 近似曲线段 \(\newcommand{arc}[1]{\stackrel{\Large\frown}{#1}}\arc{M_{i-1}M_i}\)
所以\(\vec{F}\) 在\(M_{i-1}\) 与 \(M_i\) 之间做的功近似于 \[\Delta w_i\approx \vec{F}(x_i^*,y_i^*)\cdot \overrightarrow{M_{i-1}M_i}=P(x_i^*,y_i^*)\Delta x_i+Q(x_i^*,y_i^*)\Delta y_i \]
所以在整个曲线上所做的功近似于 \[w\approx\sum_{i=1}^n\vec{F}(x_i^*,y_i^*)\cdot \overrightarrow{M_{i-1}M_i}\sum_{i=1}^nP(x_i^*,y_i^*)\Delta x_i+Q(x_i^*,y_i^*)\Delta y_i\]
将曲线划分成更短，使得每一段曲线的长度趋于 \(0\)，我们就得到了变力所做的功的精确值，即
\[w=\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)}\sum_{i=1}^nP(x_i^*,y_i^*)\Delta x_i+Q(x_i^*,y_i^*)\Delta y_i\]
将求和的极限记成积分，则有
\[w=\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy\]
我们称这样的积分为对坐标的曲线积分，或者称为第二类曲线积分。
3，向量形式的曲线积分。如果曲线用参数方程 \(\vec{r}(t)=(x(t), y(t))\)，则 \(d\vec{r}=(dx,dy)=(x'(t),y'(t))dt\)，所以对坐标的曲线积分可以记成
\[\begin{align*}\int_CP(x,y)dx+Q(x,y)dy&=\int_C\vec{F}(x,y)\cdot d\vec{r} =\int_C\vec{F}(x,y)\cdot(x'(t),y'(t))dt\\&=\int_C(P(x,y)x'(t)+Q(x,y)y'(t))dt\end{align*}\]我们称这种形式的积分为对向量的曲线积分。
4，与第一类曲线积分的关系：我们已经知道 \(ds=\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}dt\)，所以
\[\begin{align*}\int_C\vec{F}(x,y)\cdot(x'(t),y'(t))dt&=\int_C\vec{F}(x,y)\cdot\frac{(x'(t),y'(t))}{\sqrt{x’^2(t)+y’^2(t)}}ds \\&= \int_C\vec{F}(x,y)\cdot \vec{T}ds \\ &=\int_C(P(x,y)\cos\alpha+Q(x,y)\cos\beta)ds\end{align*}\]
这里 \(\vec{T}\) 是曲线的单位切向量，\(\cos\alpha,\cos \beta\) 是 \(\vec{T}\) 的方向余弦。