我们考虑平面或者空间的一条细曲线 \(C\)，它的密度为 \(f(x,y)\) 或者 \(f(x,y,z)\)，现在的问题是：我们如何计算这条细曲线的质量？
1，曲线的质量问题：因为这条曲线的密度不均匀，而且是曲线，我们不能直接计算得到它的质量。那我们将这条曲线划分成很小的一段段，在每一小段上，密度近似于常数。在每一小段上，任取一点，把它的密度作为整段的密度的近似值，所以在这一段上，质量近似于
\[\Delta m_i\approx f(x_i^*, y_i^*)\Delta s_i\]
所以整段曲线的质量近似于
\[s=\sum_{i=1}^ns_i\approx f(x_i^*, y_i^*)\Delta s_i\]
当每一段的长度近似于 \(0\) 时，这个近似值的极限值就是质量的精确值，即
\[s=\lim_{\Delta s\to 0}\sum_{i=1}^ns_i\approx f(x_i^*, y_i^*)\Delta s_i\]
我们又见到了和式的极限，我们还是把它记作积分，即
\[\int_Cf(x,y)ds=\lim_{\Delta s\to 0}\sum_{i=1}^ns_i\approx f(x_i^*, y_i^*)\Delta s_i\]
因为这类积分是在曲线上的积分，而且的积分变量曲线的弧长 \(s\)，所以我们称这种积分为对弧长的曲线积分。
2，计算：因为积分变量是 \(s\)，我们没办法直接计算。我们需要将它转变成对 \(x,y\) 的积分才能计算。我们先在平面上导出它的表达式，在空间可以类似讨论。
我们看到当分段点很密集时，每一小段曲线的长度可以用连接两个端点的直线的长度来近似 \(\Delta s_i\approx\sqrt{\Delta ^2x+\Delta^2y}\)。当曲线每一小段的长度趋于 \(0\) 时，我们就有 \[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}\]
我们可以分三种情况计算：
（1）当曲线 \(C\) 由参数方程 \(x=x(t), y=y(t),\alpha\le t\le \beta\) 给出时，\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]
所以曲线积分为 \[\int_Cf(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\]
（2）当曲线\(C\) 由函数 \(y=g(x),a\le x\le b\) 给出时，\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+(g'(x))^2}dx\]
曲线积分为 \[\int_Cf(x,y)ds=\int_a^bf(x,g(x))\sqrt{1+(g'(x))^2}dx\]
（3）当空间曲线 \(C\) 由参数方程 \(x=x(t), y=y(t),z=z(t), \alpha\le t\le \beta\) 给出时，\[ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt\]
曲线积分为 \[\int_Cf(x,y)ds=\int_{\alpha}^{\beta}f(x(t),y(t),z(t))\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt\]
我们来看例子。
例1：计算曲线积分 \(\displaystyle\int_C(x^2+y^2)ds\)，其中 \(C\) 由参数方程 \(x=a(\cos t+t\sin t)\)， \( y=a(\sin t-t\cos t)\)， \(0\le t\le 2\pi\) 给出。
解： 我们有 \[x'(t)=a(-\sin t+\sin t+t\cos t)=at\cos t, \quad y'(t)=a(\cos t-\cos t+t\sin t)=at\sin t\]
所以
\[\begin{align*}\int_C(x^2+y^2)ds&=\int_0^{2\pi}[a^2(\cos t+t\sin t)^2+a^2(\sin t-t\cos t)^2]\sqrt{a^2t^2\cos^2t+a^2t^2\sin^2t}dt\\ &=\int_0^{2\pi}a^2(\cos^2t+t^2\sin^2t+\sin^t+t^2\cos^2t)atdt=a^3\int_0^{2\pi}t(1+t^2)dt\\ &=a^3(\frac{t^2}{2}+\frac{t^4}{4})\Big|_0^{2\pi}=2\pi^2a^3(1+2\pi^2)\end{align*}\]
例2：计算曲线积分 \(\displaystyle \int_C\frac{1}{x^2+y^2+z^2}ds\)，其中 \(C\) 由参数方程 \(x=e^t\cos t, y=e^t\sin t, z=e^t\)， \(0\le t\le 2\) 给出。
解：我们先计算三个导数。
\[\begin{align*}&x'(t)=e^t\cos t-e^t\sin t\\ &y'(t)=e^t\sin t+e^t\cos t\\ &z'(t)=e^t\end{align*}\]
所以弧微分为 \[ds=\sqrt{(e^t\cos t-e^t\sin t)^2+(e^t\sin t+e^t\cos t)^2+(e^y)^2}dt=\sqrt{3}e^tdt\]
从而曲线积分为
\[\begin{align*}\int_C\frac{1}{x^2+y^2+z^2}ds&=\int_0^2\frac{1}{e^{2t}\cos^2t+e^{2t}\sin^2t+e^{2t}}\sqrt{3}e^tdt\\ &=\int_0^2\frac{1}{2e^{2t}}\sqrt{3}e^tdt=\frac{\sqrt3}{2}\int_0^2e^{-t}dt\\ &=-\frac{\sqrt3}{2}e^{-t}\Big|_0^2=\frac{\sqrt3}{2}(1-e^2)\end{align*}\]
例3：求曲线积分 \(\displaystyle\int_C\sqrt{y}ds\)，其中 \(C\) 是函数 \(y=x^2\) 从 \((0,0)\) 到 \((1,1)\) 之间的一段。
解：因为 \(y=x^2\)，我们有 \(\sqrt{y}=x, y’=2x\)，所以 \[ds=\sqrt{4x^2+1}dx\]
曲线积分为
\[\begin{align*}\int_C\sqrt{y}ds&=\int_0^1x\sqrt{4x^2+1}dx\\ &=\frac{1}{12}(1+4x^2)^{\frac{3}{2}}\Big|_0^1\\ &=\frac{1}{12}(5^{\frac{3}{2}}-1)\end{align*}\]