对于曲线积分，我们有类似于牛顿-莱不尼兹公式的基本定理。我们回顾一下牛顿-莱不尼兹公式： \[\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)\]就是函数的积分等于它的原函数在端点处的值之差。
对于曲线积分，我们有下述的曲线积分基本定理：
1，定理（曲线积分的基本定理）：设 \(L\) 是区域 \(D\) 上连接点 \(A\) 和 \(B\) 的一条光滑曲线，它的参数方程为 \(\vec{r}(t), \vec{r}(a)=A, \vec{r}(b)=B\)。设函数 \(f\) 是可微函数并且 \(\nabla f\) 是连续的，则有 \[\int_L\nabla f\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)\]
我们可以这样理解， \(f\) 是 \(\nabla f\) 的原函数，曲线的起点在 \(A\)，终点在 \(B\)，这个定理就跟牛顿-莱不尼兹公式具有相同的意义了。就是曲线上函数的积分，等于它的原函数在端点处的值之差。
证明：我们设 \(\vec{r}(t)=\{x(t),y(t),z(t)\}\)，则
\[\begin{align*}\int_L\nabla f\cdot d\vec{r}&=\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}\right)\cdot(x'(t), y'(t)+z'(t))dt\\&=\int_a^b\left(\frac{\partial f}{\partial x}x'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}y'(t)+\frac{\partial f}{\partial z}z'(t)\right)dt\\ &=\int_a^b\frac{df}{dt}dt=f(\vec{b})-f(\vec{a})=f(B)-f(A)\end{align*}\]
我们看到了，曲线积分基本定理的被积向量函数为一个函数的梯度。如果一个向量函数为某个数量函数的梯度，这样的向量函数我们称为保守向量场。
2，保守向量场：若 \(\vec{F}=\nabla f\)，我们称 \(\vec{F}\) 为保守向量场，\(f\) 称为 \(\vec{F}\) 的势函数。
曲线积分基本定理说明了，若 \(\vec{F}\) 是保守向量场，则 \(\int_L\vec{F}\cdot d\vec{r}=f(B)-f(A)\)。
现在我们给出保守向量场满足的判断方法。
3，定理（保守向量场的条件）：设区域 \(D\) 单连通区域并且 \(\vec{F}\) 在 \(D\) 一阶连续可导，则 \[\vec{F}=\nabla f\quad\Leftrightarrow\quad \begin{cases}\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y},& \vec{F}=P(x,y)\vec{i}+Q(x,y)\vec{j}\\ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x},\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}&\vec{F}=\{P(x,y,z), Q(x,y,z),R(x,y,z)\}\end{cases}\]
证明：“\(\Rightarrow\)” 若 \(\vec{F}=\nabla f\)，则
\[P(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial x}, Q(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial y}, R(x,y,z)=\frac{\partial f}{\partial z}\]
由混合偏导数的关系， \[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial^f }{\partial y\partial x}=\frac{\partial^f }{\partial x\partial y}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)=\frac{\partial Q}{\partial x}\]也就是说， \[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\]
同样的方式，可以证明其它几个等式。
将上面的证明过程反过来，就得到了充分条件。
例1：设 \(\vec{F}=2xy^3\vec{i}+(1+3x^2y^2)\vec{j}\)，证明 \(\vec{F}\) 是保守场，并求其势函数。
解：因为 \[\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial }{\partial y}(2xy^3)=6xy^2, \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial }{\partial x}(1+3x^2y^2)=6xy^2\]
所以 \(\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\)，而且 \(6xy^2\) 是多项式，它在整个平面上连续可导，所以 \(\vec{F}\) 是保守向量场。现在我们求它的势函数。
因为 \[\frac{\partial f}{\partial x}=P(x,y)=2xy^3 \quad \Rightarrow\quad f=\int\frac{\partial f}{\partial x}dx=\int2xy^3dx=x^2y^3+g(y)\]
这里的任意常数变成了只与 \(y\) 有关的函数 \(g(y)\)，这是因为求偏导数的时候，将 \(y\) 看成常数。所以关于 \(x\) 求偏导数的时候，只与 \(y\) 有关的函数就变成了 \(0\)。
现在我们来确定 \(g(y)\)，因为
\[\frac{\partial f}{\partial y}=Q(x,y)=1+3x^2y^2\]
由前面我们得到的 \(f\) 的表达式，
\[\frac{\partial f}{\partial y}=3x^2y^2+g'(y)=1+3x^2y^2\]
所以 \(g'(y)=1\)，只需要令 \(g(y)=y\)，所以我们得到 \[f=x^2y^3+y\]
它就是 \(\vec{F}\) 的势函数。当然，我们对 \(f\) 加上一个任意常数，仍然是 \(\vec{F}\) 的势函数。
4，全微分求积分：由曲线积分的基本定理，我们知道，一个保守场的积分，等于它的势函数在端点处的值之差。但是若 \(\vec{F}=\nabla f\)，则 \[\vec{F}\cdot d\vec{r}=P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy\] 或者 \[\vec{F}\cdot d\vec{r}=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy+\frac{\partial f}{\partial z}dz\]
我们看到这就是势函数的全微分，所以曲线积分就是一个函数的全微分的积分。
反过来，若 \(Pdx+Qdy+Rdz\) 是全微分，则 \(\vec{F}=(P,Q,R)=\nabla f\) 是保守场，所以它的积分也只需要求出它的势函数就行。
例2：证明 \((e^x\cos y+yz)dx+(xz-e^x\sin y)dy+(xy+z)dx\) 是一个函数的全微分，并求出一个这样的函数。
解：\[\frac{\partial P}{\partial y}=-e^x\sin y+z, \frac{\partial Q}{\partial x}=z-e^x\sin y, \quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\]
\[\frac{\partial P}{\partial z}=y, \frac{\partial R}{\partial x}=x,\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial x}\]
\[[\frac{\partial Q}{\partial z}=x, \frac{\partial R}{\partial y}=x,\quad\Rightarrow\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial R}{\partial y}\]
又因为 \(P,Q,R\) 在整个空间连续可导，所以 \((e^x\cos y+yz)dx+(xz-e^x\sin y)dy+(xy+z)dx\) 是一个函数的全微分。现在我们来求这个函数。
\[f=\int P(x,y,z)dx=\int(e^x\cos y+yz)dx=e^x\cos y+xyz+g(y,z)\]我们利用另外两个等式确定 \(g(y,z)\)。因为
\[Q(x,y,z)=xz-e^x\sin y=\frac{\partial f}{\partial y}=-e^x\sin y+xz+\frac{\partial g}{\partial y}\]比较两边的项，\(xz-e^x\sin y=-e^x\sin y+xz+\frac{\partial g}{\partial y}\)，我们得到 \(\frac{\partial g}{\partial y}=0\)，也就是 \(g(y,z)=g(z)\)，它与 \(y\) 无关。
\[R(x,y,z)=xy+z=\frac{\partial f}{\partial z}=xy+g'(z)\]所以 \(g'(z)=z\)，只要取 \( g(z)=\frac{1}{2}z^2\) 就行。所以 \[f(x,y,z)=e^x\cos y+xyz+\frac{1}{2}z^2\]就是我们要求的一个函数。
例3：求积分 \(\displaystyle \int_{(1,1,1)}^{(2,3,-1)}ydx+xdy+4dz\)。
解：因为 \[\frac{\partial P}{\partial y}=1,\frac{\partial Q}{\partial x}=1, \frac{\partial P}{\partial z}=0,\frac{\partial Q}{\partial z}=0,\frac{\partial R}{\partial x}=0,\frac{\partial R}{\partial y}=0\]
所以 \(ydx+xdy+4dz\) 是一个函数的全微分。我们现在来求这个函数。
\[f=\int Pdx=\int ydx=xy+g(y,z), \quad Q=x=\frac{\partial f}{\partial y}=x+\frac{\partial g}{\partial y}\]
所以 \(\frac{\partial g}{\partial y}=0\)，也就是说 \(g(y,z)=g(z)\)。
\[f=xy+g(z), \quad R=4=\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{\partial g}{\partial z}\]
所以 \(\frac{\partial g}{\partial z}\)，只要取 \(g(z)=4z\) 即可。所以 \[f=xy+4z\]
由曲线积分基本定理，我们有
\[\int_{(1,1,1)}^{(2,3,-1)}ydx+xdy+4dz=f(2,3,-1)-f(1,1,1)=6-4-5=-3\]