要定义对坐标的曲面积分（或者对向量的曲面积分），我们需要了解曲面的定向问题（有向曲面）。
1，双侧曲面：我们一般见到的曲面是双侧曲面，就像一张纸，有两面。一个曲面，在同一个点，有两个法向量，如果不越过曲面的边界，我们不可能将法向量连续移动到同一个点，而法向量变成另一个方向。
单侧曲面：可以将法向量在曲面上连续移动到一个点，而法向量相反。
单侧曲面最典型的例子是 M\”obius （莫比乌斯带）。将一长条形纸条，对边交叉粘贴，就得到了莫比乌斯带，我们沿着这个曲面涂色，可以不越过边界而将曲面所有地方涂上色。
对于双侧曲面，就不可能做到这样。平常的一张纸，要涂满所有地方，必须翻面才可以。
我们之后的内容，都假设曲面是双侧曲面。
2，有向曲面：对于双侧曲面，它的法向量有两个。我们指定其中一个法向量为正向，就给出了曲面的定向，这样的曲面叫做有向曲面。
换句话说，指定了法向量的曲面就是有向曲面。
3，曲面的侧：假设曲面的法向量为 \(\vec{n}=(A,B,C)\)，那么若
- \(C>0\) 为曲面的上侧；
- \(C<0\) 为曲面的上侧；
- \(B>0\) 为曲面的右侧；
- \(B<0\) 为曲面的左侧；
- \(A>)\) 为曲面的前侧；
- \(A<0\) 为曲面的后侧。
例如，如果曲面的方程为 \(z=f(x,y)\) 那么曲面有两个法向量
- \(\vec{n}=(-f_x,-f_y,1)\) 为曲面的上侧；
- \(\vec{n}=(f_x,f_y,-1)\) 为曲面的下侧；