如何判定一个复级数是否为条件收敛？

我们知道，如果一个复级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}\) 的绝对值级数（每一项取模）

\[\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|\]

收敛，则级数本身是收敛的。现在的问题是，如果绝对值级数不收敛，如何判定一个复级数是否收敛，也就是条件收敛问题。

从复级数收敛的定义，我们可以知道， 一个复级数收敛，就是它的实部和虚部都收敛。由此我们知道，一个复级数是条件收敛，要么就是实部和虚部都是条件收敛，要么就是其中一个条件收敛，另一个绝对收敛。所以我们只需要应用实级数的收敛性判别法就可以了。

我们来看两个例子：

例1：判定级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}\]

的敛散性。

解：我们知道

\[\sum_{n=1}^{\infty}|z_n|=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\]

是发散的，所以级数不是绝对收敛。很显然，这个级数即有实数部分，也有虚数部分。我们将其分解成实部与虚部

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i^{2k+1}}{2k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{i^{2k}}{2k}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{i(-1)^{k}}{2k+1}+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k}}{2k}\]

由交错级数的莱不尼兹判别法，实部和虚部都是收敛的，从而级数本身是收敛的。所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{i^n}{n}\) 条件收敛。

例2：判定级数

\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{2^n}\]

的敛散性。

解：因为 \(|z_n|=\sqrt{\frac{1}{n^2}+\frac{1}{2^{2n}}}>\frac{1}{n}\)，由正项级数的比较判别法，级数 \(\sum_{n=1}^{\infty}|\frac{(-1)^n}{n}+\frac{i}{2^n}|\) 发散。也就是说，原级数不是绝对收敛。但是我们知道，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}\) 条件收敛，而\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\) 绝对收敛，所以原级数条件收敛。