1，正项级数：若 \(a_n\geq 0\)，则称级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 为正项级数。
正项级数的积分判别法是一种基本的判定级数是否收敛的一种方法。我们有如下的定理。
2，定理（正项级数的积分判别法）：若 \(f(x)\) 是一个单调递减的函数，\(f(x)\geq 0, a_n=f(n)\)，则 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 和 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 同敛散。就是它们同时收敛或者同时发散。
证明：我们将 \((1,\infty)\) 划分成长度为 1 的区间，那么 \(\int_n^{n+1}dx=1\)，所以
\[\begin{align*}\sum_{n=1}^{\infty}a_n&=\int_1^2a_1dx+\int_2^3a_2dx+\cdots+\int_n^{n+1}a_ndx+\cdots\\ &=\int_1^2f(1)dx+\int_2^3f(2)dx+\cdots+\int_n^{n+1}f(n)dx+\cdots\\ &\geq \int_1^2f(x)dx+\int_2^3f(x)dx+\cdots+\int_n^{n+1}f(x)dx+\cdots\\ &=\int_1^{\infty}f(x)dx\end{align*}\]
这里不等式成立是因为 \(f(x)\) 单调减少，所以在 \((n,n+1)\) 区间上， \(f(x)\geq f(n)\)。又
\[\begin{align*}\sum_{n=2}^{\infty}a_n&=\int_1^2a_2dx+\int_2^3a_3dx+\cdots+\int_n^{n+1}a_{n+1}dx+\cdots\\ &=\int_1^2f(2)dx+\int_2^3f(3)dx+\cdots+\int_n^{n+1}f(n+1)dx+\cdots\\ &\leq \int_1^2f(x)dx+\int_2^3f(x)dx+\cdots+\int_n^{n+1}f(x)dx+\cdots\\ &=\int_2^{\infty}f(x)dx\end{align*}\]
这就是 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\leq a_1+\int_1^{\infty}f(x)dx\)。所以我们可以得到 \[\int_1^{\infty}f(x)dx\leq \sum_{n=1}^{\infty}a_n\leq a_1+\int_1^{\infty}f(x)dx\]
从而 \(\displaystyle\int_1^{\infty}f(x)dx\) 与 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n\) 同敛散。
例1，\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\) 收敛。因为这里 \(f(x)=\frac{1}{n^2+1}\)，而 \[\int_1^{\infty}\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x\Bigg|_1^{\infty}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\]
所以级数 \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2+1}\) 收敛。
例2，讨论 p-级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) 的敛散性。
解：当 \(p=1\) 时，\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\) 是调和级数，发散。
当 \(p\neq 1\) 时，
\[\begin{align*}\int_1^{\infty}\frac{1}{x^p}dx&=\int_1^{\infty}x^{-p}dx=\frac{1}{1-p}x^{1-p}\Bigg|_1^{\infty}\\ &=\begin{cases}\frac{1}{1-p}\cdot\frac{1}{x^{p-1}}\Bigg|_1^{\infty}, \quad &p>1\\ \frac{1}{1-p}x^{1-p},&p<1\end{cases}\\ &=\begin{cases}\frac{1}{1-p}, &\quad p>1\\ \infty,&p<1\end{cases}\end{align*}\]
所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\) 当 \(p>1\) 时收敛，\(p\leq 1\) 时发散。
例3，讨论级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ne^{-n^2}\) 收敛还是发散。
解：因为 \[\int_1^{\infty}xe^{-x^2}dx=-\frac{1}{2}e^{-x^2}\Bigg|_1^{\infty}=\frac{1}{2}e^{-1}\]
所以级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}ne^{-n^2}\) 收敛。