根值判别法也称为柯西（Cauchy）判别法。它从一般项的 \(n\) 次根式的极限，来得到级数本身的收敛性的一种判别方法。它也不需要其它的比较级数就可以应用的一种方法。
根值判别法（柯西判别法）
1，定理：\(\displaystyle\sum a_n\) 正项级数，\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}=L\)
\(\displaystyle\left(\begin{array} {l}L<1\\L>1\\L=1\end{array}\right)\quad\Rightarrow\quad \sum a_n \left(\begin{array}{l}\text{收敛}\\ \text{发散}\\ \text{不知道}\end{array}\right)\)
2，\(\displaystyle \left(b_n\right)^n\)，\(\displaystyle n^n\) 适用
例1，判断级数 \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2n+3}{3n+2}\right)^n\) 的敛散性。
解答：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}\)
\(\displaystyle\quad\ =\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{\left(\frac{2n+3}{3n+2}\right)^n}\)
\(\displaystyle\quad\ =\lim_{n\to\infty} \frac{2n+3}{3n+2}\)
\(\displaystyle\quad\ =\frac{2}{3}<1\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad\) 级数收敛
例2，判断级数 \(\displaystyle\sum \frac{n^n}{5^{2n+3}}\) 的敛散性。
解答：\(\displaystyle \frac{n^n}{5^{2n+3}}=\frac{n^n}{5^{2n}\cdot 5^3}=\frac{1}{125}\cdot \frac{n^n}{(5^2)^n}=\frac{1}{125}\cdot \frac{n^n}{25^n}\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{5^{2n+3}}\)
\(\displaystyle\quad\ =\frac{1}{125} \sum\left(\frac{n}{25}\right)^n\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty} \frac{n}{25}=\infty\)
\(\displaystyle\Rightarrow\quad\) 级数发散
注：可使用另一种方法：\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=+\infty\ne 0, \quad\Rightarrow\quad\)级数发散。